看點作很多孩子乘法口訣背的很熟，計算做的很溜，但對所學的概念卻不理解，畢竟概念理解不是靠背誦能完成。兩個孩子的“數學奶爸”夏駿軼認為，讓孩子在好奇心的驅使下，陪他一起進行數學冒險，而不是刻板的死記硬背，才有助於培養他的獨立思考能力，也才能讓他更好地理解數學的概念。下文中，他分享實際生活經歷和例題，與大家介紹了了獨立思考能力該如何培養，以及如何通過“提問”，引發孩子的好奇心。
文丨夏駿軼 編輯丨李臻
一次探險引發的思考
上個周末帶二寶出去逛，走過漕溪公園附近，有一排沿街商鋪，台階很高，從台階可以走上一個挺寬的平台，如果要從平台下來，要不走前面的樓梯，要不倒退走後面的樓梯，再者就乾脆從平台上跳下來。
這對於一個環境探索症重度患者的4歲男娃來說，簡直就是一場美好的大冒險。平台有些高，他不敢跳，於是，他讓我在平台中間等著，然後從後邊樓梯爬上去，跑過平台，扒著我的脖子滑下來，往前面跑，再上樓梯，循環往複，不亦樂乎。
當我們走到街道拐角，這排商鋪到了盡頭，前面不再有樓梯，於是他想讓我過去充當人肉梯子，我滿臉壞笑說：“爸爸累了，抱不動你，你想辦法自己下來。”
他有點楞神，表情好像在說：“你怎麽能不按套路出牌呢？”我向他擠眉弄眼，意思是說：“小子，考驗你的時候到了，快動動腦筋。”
他走到平台邊看了看，想爬下來，最後還是沒敢，又往後看了看，樓梯距離有些遠，再往前看，因為接近拐角有兩根柱子，擋住了視線，啥都看不見。我心裡在默默嘀咕：“這小子到底會做什麽樣的選擇呢？”
結果我還沒來得及轉念，他就往拐角方向跑過去。我在平台下面跟著他走，繞過柱子一轉彎，這家夥已經跑到平台下面來了，興衝衝的撲過來，抱住了我的腿。原來，拐過柱子，前面就有一個新的台階。我抱起他問：“你為什麽要選擇往前面走啊？難道你知道前面有樓梯嗎？”他一副理所當然的口氣：“我不知道啊，所以才跑過去看看唄！”
一件小小的親子事件，讓我想起一個著名的心理學實驗：
心理學家設定一個螺旋形柵欄。將食物放在柵欄的中心處，讓一些動物從外向內尋找。由於動物沿著柵欄的通道向中心步步靠近，大多數動物都能找到食物。
但如果將動物放在柵欄的中心處，把食物放在柵欄的出口處，由於動物由內向外走的時候，看著食物忽遠忽近，就搞不明白為了接近目標需要暫時遠離目標，所以會在靠近食物的柵欄通道處徘徊不已，不肯“離去”，結果找不到食物。
有的時候，我們人並不比動物強多少，慣性思維使我們本能的排斥思維方式的改變，固執己見，這是一方面。但是人類有一個非常棒的天賦，就是好奇心。好奇心使得我們樂於探索世界，發現新的事物，也使得我們得以對抗舊思維，學習新方法，這是另一方面。
在之前的文章中我就談到，要用人文視角去看兒童數學啟蒙，其中有一個觀點是在啟蒙中發展孩子的獨立思考能力，有不少家長給予反饋：孩子的思維很多時候都在原地打轉，有時甚至還會倒退，獨立思考很難培養。
其實，獨立思考也好，數學思維也罷，建構性教學的軌跡，都不是一條直線，而是螺旋上升。很多時候遠即時近，慢即是快。
學好數學，需要“遠行冒險”
所謂遠行，就是不走直路，走彎路。
我們在學習中，往往有一種心態——尋找捷徑，致力於少走彎路。對於為了獲得某種結論的學習而言，走直線自然是最經濟的做法，但對於以思維培養為目標的學習，走走彎路，往往效果來的更好。
舉一個小例子，現在孩子學乘法第一步做什麽？背乘法口訣是吧。這和我們小時候學習區別不大，甚至和我們父輩學習乘法，也相差不遠。背乘法口訣就是一條直路，它以最快的速度，幫助我們掌握乘法，但是，這是能取得最好效果的學習方法嗎？不一定。
快不等於好。
很多孩子乘法口訣背的很熟，計算做的很溜，但對乘法的概念卻不理解，畢竟對概念的理解不是依靠背誦能完成的。，正如遠行的風景能幫助我們自然而然地，更深刻了解什麽是人生一樣，讓孩子在好奇心的驅使下，陪著他一起進行數學冒險，才有助於培養他的獨立思考能力，也才能讓他更好地理解數學的概念。
以乘法的概念為例，來體驗一下數學的冒險之旅。
如果讓孩子做一做他們已經非常熟悉的加法：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，有人會說：用高斯算法很容易就算出來了。沒錯，但是既然是遠行，就不適合用現成的方法，我們可以請孩子們畫下來。
現在我們有了一個三角形，底邊是9，高也是9，我們可以請孩子把這個三角形變成一個長方形嗎？
孩子們可能從來沒有想過，還有這樣的玩法，沒有關係，這本來就是一次沒有風險的冒險，想怎麽玩就怎麽玩，但是有一點很重要，我們需要做好一些記錄，比如這樣：
我們也可以提示孩子，讓小石頭從山頂滾下來，不管怎麽樣，最重要就是一家人整整齊齊，最後我們從這樣的“三角形”變成了“長方形”。
好了，我們現在有了一個長方形，這下是不是很容易就數清有幾塊小石子了？或許有些家長很機智地發現，這其實就是5×9哈，但是別著急，既然是遠行，就讓我們多看一下風景，不要讓旅程枯燥。
從上面的記錄，我們可以和孩子一起思考：是否有些數字可以擺成一個方形，但是不是所有數字都能擺成方形呢？這樣的問題引發的好奇心可以推動孩子繼續探索的路邊風光。
我們先拿1到10試試看，這回我們換成小方塊。
有點奇怪，1、2、3這三個數好像都只能擺成這樣扁扁的長方形，試試看4吧。
果然，4可以擺出兩種樣子的方形，我們可以記錄下來，（2，2）和（1，4）。
之後的數字：
5有一種（1，5），
6有二種（2，3）和（1，6），
7有一種（1，7），
8有二種（2，4）和（1，8），
9有二種（3，3）和（1，9），
10有二種（2，5）和（1，10）。
11有……
依次往下，一場偉大的冒險開始了，讓我們看看最後形成的“旅行地圖”會是什麽樣的。
（為了孩子便於理解，可以用這些不同數字的方形圖貼在大表格中，每個數字都嘗試一下，最後就形成了“旅行地圖”。）
這個乘法表有別於我們常識中的99乘法表，蒙氏數學中用過，可汗學院也提到過，關鍵是，或許我們可能要花很長時間才能完成這次“探索旅程”，但是最後，當我們探索完1-81的數字後，回過頭看我們來時的路，可能會有很多的收獲：
1、理解了乘法其實就是矩形，兩者可以互相轉換，為以後學習圖形面積奠定了基礎；
2、明晰了乘法的分組概念，在這個表內任意一個數字（比如35）都能轉化為一個具體的矩形，分組形態一目了然；
3、建立了良好的乘法模型，理解了乘法本質上是一種二維思考模式，乘法的確比加法更簡便，除法與乘法是互逆的。
4、熟練了部分與整體思維，進而能幫助孩子理解數量關係應用題；
5、感知和體驗了質數和因數的初步經驗，對數的概念會有更深的了解。
然後，我們可以把這張表繼續擴大到12×12，14×14，甚至19×19，也可以繼續“遠行”，比如找找表當中哪一個數字出現的次數最多，從乘法的角度理解為啥32比25大了7等等
除此以外，這樣的“遠行冒險”還有很多，比如在豎式計算中，我們都知道從低位開始計算，這是“捷徑”，那麽“遠行”就是：“豎式計算能不能從高位算起？”
再比如，我們知道圖形的內角和，三角形180?，四邊形360?，五邊形540?，這是“捷徑”。那麽“冒險”就是“多邊形的外角和是多少呢？”
在這一系列的活動中，我們並沒有背誦任何口訣，而是通過提問，引發孩子的好奇心，從而推動孩子的探索和發現之旅。而主動探索之下，孩子們養成真正的主動思考習慣，才是思維“遠行”的價值所在。
我們不能怪孩子沒有獨立思考的能力，因為很多時候，他們並沒有思考的自由。遠行需要花費更多的時間、精力和資源，但是與被浪費掉的生命而言，遠行實在是性價比非常高的學習方法。數學本身足夠美麗，讓孩子把時間浪費在美好的事物上吧。
學好數學，需要進行創造
除了在好奇心的驅使下，讓孩子進行更多的自主探索以外，數學的獨立思考能力培養，還在於幫助孩子認識到數學的本質是一種有序的創造。
18世紀維科有一個著名的命題——“真理即創造之物，創造之物即真理。”他認為由於數學完全是人構築起來的知識體系，所以（對於人而言）其真實可靠性最值得期待。
這個觀點是有一點的爭議，因為一般情況下，大家都會認為數學更接近於發現一種規律模式的思維狀態，就好像無理數本來就在那裡，數學家有幸找到了它。
但是從另一個方面，數學是一種語言，對客觀世界進行著表征和述說，在這個視角，數學的創造屬性展露無遺——創造一種高效而簡潔的範式來表達世界，數位計數系統、方程、解析幾何、微積分都是人類數學史上的偉大發明。
那麽從數學啟蒙教育來講，認識發生論認為：“兒童的數學不是教會的，而是自己“發明”的”，皮亞傑的意思是說：孩子對數學的知識理解，不是簡單的複製，而是認知結構主動建構、重組、改造的過程，這些知識的獲得不是來自成人的直接教授，而是來自對數學經驗的操作。
比如說，我們最常見的數字元號：1、2、3、4、5……9，在我們初次向孩子展示的時候，孩子往往都是從字元的表象來看待數字的，但是這並不是數學，我們希望的是孩子能夠理解符號背後的想法。
所以我們可以用“遠行”的思路，向孩子展現不同文化下的數字元號，文化本身只是一個方面，更重要的通過文化現象引導孩子去關注背後趨於一致的人類智慧——每一個符號代表了一種量的多少，以及數位和10以上的計數是怎麽一回事。
也可以用“創造”的思路，讓孩子自己發明數字元號，從而探索數字記錄系統，比如：
孩子只有在能用自己發明方法去表達數學思想時，才能說他真正弄懂了，這個過程本質上是一種創造的過程，我們稱為表征。除了簡單的數字元號表征外，創造模式也能在幫助孩子理解各種數量關係，以及運算和應用題學習上，發揮很大的作用。
創造的過程，就是偉大的想象力和理性的交融。
新加坡數學教育強盛一時的秘密武器——數學建模，糾其本質，也同樣運用了數學語言的自我創造策略。
在持續的探索中我們會不斷地提出問題，這讓我們深入地思考和學習。而探索思考多了，一定會有創造性的思維迸發，在嘗試的過程中，之前探索的結論得到了不斷的驗證，所以創造和探索是分不開的。探索是歸納思維，創造是演繹思維，是獨立思考發展的一對翅膀。
獨立思考的“按鈕”
學好數學需要在“冒險”和“創造”中構建孩子的獨立思考能力，而開啟這一過程的“按鈕”正是孩子被激發出的好奇心。然而孩子們最珍貴的好奇心，恰恰也最容易受到破壞。
有時候，成年人對孩子沒完沒了的問題沒有耐心，也沒有意願探究孩子的問題可能代表的實質含義，這實在是“寒了孩子的好奇心”呀。可以說，提出問題是孩子好奇心的最初也是非常重要的表現。
保羅·拉克哈特是布朗大學的數學教授，他曾自願到紐約布魯克林的聖安學校（St. Ann’s School）教導K-12的數學課，希望能帶給孩子們數學的美感，和充滿想像力的一面。他在《一個數學家的歎息》一書中說到：“數學其實是原始的創造力和美學的感受力。”又說：“數學不是遵循指示，而是要創造出新的方向。”
他覺得，現在學校裡的數學，最主要的問題出在沒有“問題”，沒有那些能夠引發孩子思考的“問題”。這種情況在我看來，還有另一個變式，就是引發思考的問題太多，以至於孩子沒有時間和太空思考。這兩種表現其實是一種情況，用保羅的話來說：“這樣學習數學是很可悲的，人類被成了訓練有素的黑猩猩。”
諸如像： “這裡有一個題型。這裡是解答它的方法。這個會出現在考試裡。今天的家庭作業是習題1-35 題。”這樣無須動腦的反芻公式和演算，都不是真正的問題。一個真正符合人類天性的提問應該是例如：“質數是無止盡的嗎？”“無限大是一個數字嗎？”“在一個平面上用對稱的方式鋪磁磚的方法有多少種？”之類。
總之，一個好的問題應當：
1、開放而非封閉；
2、有趣，引發好奇，並能持續推動探索；
3、激發我們提出新的有趣問題。
那麽，這樣的問題，對孩子數學的獨立思考有什麽幫助呢？
《解決問題》一書的作者波利亞曾說：“對自己提出問題是解決問題的開始。”長久以來，我們一直把“解決問題”放在孩子數學或思維能力培養的核心地位，但實際上，在此之前，我們先要幫助孩子認識“什麽是問題？”，然後是“發現問題、提出問題”，最後才是和“解決問題”。
鼓勵孩子提出自己的問題，意味著點燃了獨立思考的第一把火，也是他們思維“遠行”或“創造”的首推力。我們不要嫌孩子提出的問題幼稚，我們都從嬰孩成長起來，也都曾經問過同樣的問題：“這是什麽？”“這是怎麽發生的？”以及“為什麽？”並且提出這樣問題的能力，在我們長大以後顯得尤為珍貴。
同時，我們也不要害怕孩子繞行遠路，繞行遠路就是真實的思考——自己猜測與發現、嘗試錯誤、經歷創造性的挫折、產生靈感、拚湊出他們的解釋和證明等等。而他們在冒險中艱難跋涉的每一步，都不會白費，都將成為他們人生必要之經驗。
保護好孩子的好奇心，對於客觀世界，對於抽象世界，都是同樣重要的。好奇心讓我們產生想法，正如高斯曾經說過的：“我們需要的是想法，不是符號。”（What we need are notions，not notations），
而用好奇心構建的獨立思考力，是孩子學習數學的核心燃料！
在本文結束之前，問大家一個好玩的問題，希望對我們“冰封”已久的數學好奇心，能有小小的“化凍”作用：
我們都知道圓形面積公式是πr?,而我們在推導公式時，會用到下面這樣的“切西瓜片”策略。那麽我的問題是，有沒有其他的方式來解釋圓形面積的計算，請使用小學生能聽懂的語言，想出來後可以和你的孩子一起分享。
香港九龍灣馬來街興發大廈15樓D室