很多人以為自己是數學天才，直到遇見了極限

反比例函數是大家接觸最早和最熟悉的函數之一，它的函數解析式是y=k/x（k為常數，k≠0）。我們利用反比例函數的解析式，就可以畫出它的圖像，如下圖所示：

根據函數的圖像可知，在k＞0情況下的第一象限內，反比例函數中x的值無限變大，大到無窮的時候，曲線就不斷向x軸靠近，換句話說y的值逐漸向“0”靠近；或者是y的值無限變大，曲線就不斷向y軸靠近，x的值逐漸向“0”靠近。

此時，有些人就會產生一些疑問，當這個x的值取到非常大、非常大、非常大的時候，y的的值和“0”之間存在什麽樣的關係呢？會相等嗎？

對於類似這樣的疑惑，我們從現代數學“極限”的角度出發，就很好回答，但在幾百年前，像這樣的問題在當時卻屬於一個世界性的難題。

我們知道，對於某一個函數，假設其中的某一個變量x，它在無限變大（或者變小）的這一變化過程中，導致另一個變量y逐漸向某一個確定的數值m不斷地靠近，不過最終的結局只能是不斷的接近“m”，卻永遠都無法跟“m”重合。

簡而言之，某一變量x處於無限變大或無限變小這一變化過程，那麽另一個變量y的值永遠都不會等於m，但只要變量x一直處於無限變大或無限變小中，那麽y的值可以取等於m，這就是極限的思想。

因此，如果一個人要想理解“極限”這一抽象數學概念，那麽就需要學會接受和明確知道極限是一種“變化狀態”的描述，變量y有不斷地努力靠近m點的趨勢。此時，變量y永遠趨近的值m就叫做“極限值”。

極限作為微積分、數學分析等重要內容的基礎，可以說是初等數學邁入高等數學一個關鍵門檻。正如所有的數學知識概念出現的背景一樣，極限也是屬於社會經濟發展和科學技術之間產生的“矛盾”產物。

在早期16世紀的歐洲，一些國家開始進入資本主義萌芽階段，整個社會處於快速變革狀態，生產力得到極大的發展，出現一些最基本的工業化。人們在發展過程中，發現很多生產技術都出現問題，跟不上社會發展的速度，當時的數學知識已經無法順利解決一些“變化的量”，如運動變化、天文學、機械化、航海、采礦、大壩建造等，都需要新的數學知識才能解決。

初等數學很多時候只能解決一些相對“穩定”的量，但在現實工作生活中，充滿了大量“變化的量”，這就要求數學必須突破現有的知識壁壘，能夠找到一種可以描述和研究運動、變化過程的新數學知識，最終解決這些“變量”問題。基於當時這樣的社會發展背景，數學家都努力嘗試突破傳統的思維模式，直接促進“極限”思維的形成和發展，從而建立微積分等重要數學分支。

最早的時候，牛頓和萊布尼茨在各自的領域創立了微積分，讓“極限”的發展擁有了正是展開拳腳的舞台。在當時，微積分一經創立誕生，就幫助很多人順利解決了以往在運動變化、力學、天文學等中認為束手無策的難題，數學也迎來了新的發展。

不過，牛頓和萊布尼茨所創立的微積分並不是十分完善，特別是在一些關鍵疑難點沒有講清楚，如“無窮小量”的解釋，邏輯上存在著很多混亂，儘管當時的“初始微積分”已經能輕而易舉解決一些實際工作中的難題。

就像牛頓的瞬和流數或是萊布尼茨的dx和dy，都需要解決和講清楚“無窮小量”這一特殊概念，但這兩位偉人都沒有給出明確、嚴謹的定義。

為什麽“無窮小量”會這麽重要呢？

我們都知道，在微積分的推導或運算過程中，常常需要先用“無窮小量”作為分母進行除法，然後又把“無窮小量”當作零來處理，以消除那些包含有它的項。

那麽問題就來了，“無窮小量”究竟是零還是非零呢？

因為如果它是零，怎麽能用它去作除數呢？如果它不是零，又怎麽能把包含它的那些項消除掉呢？這種邏輯上的矛盾，直接或間接影響微積分的發展，更讓所有數學家不僅意識到“極限”這一概念的重要性，更明白極限思想的進一步發展是與微積分的建立緊密相聯繫的。

當時的人們束縛於狹小的觀念裡，還是以傳統的數學思維方式去看待“極限”，試圖用“零誤差”去進行變量計算，這樣的思維方式只能導致悖論的發生，這就是數學史上所說的“無窮小量”悖論產生的原因。

牛頓和萊布尼茨在晚期都不同程度地接受了極限思想，也都努力去嘗試解決這一“神秘”概念，試圖以極限概念作為微積分的基礎。

很多可惜，牛頓和萊布尼茨為都無法完整得出極限的嚴格表述。

雖然當時的人們沒有弄清楚“極限”這一概念，但微積分的出現，確實促進社會的發展。隨著微積分應用的更加廣泛和深入，大家都意識到需要解決“極限”這一問題，要有嚴謹、邏輯的數學語言對其進行完整描述。

加上人類文明不斷向前進步，遇到的問題越來越複雜，這就要求數學必須推出明確的概念、合乎邏輯的推理和運算法則。

進入19世紀之後，法國著名數學家柯西比較完整地闡述了“極限”的概念，以及相關的理論。柯西在《分析教程》中指出：當一個變量逐次所取的值無限趨於一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當一個變量的數值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個變量成為“無窮小量”。

柯西把“無窮小量”視為“以0為極限的變量”，這就準確地確立了“無窮小量”概念，“無窮小量”就是極限為“0”的變量，在變化過程中，它可以是“非零”，但它的變化趨向是“0“，無限地接近於“0”，可以人為用等於0方式去處理。

直白地講，在變量的變化過程中，它的值實際上不等於“0”，但它變化的趨向是向“0”，可以無限地接近於“0”，那麽人們就可以用“等於0”的方式來處理，就不會產生錯誤的結果。

極限論正是從變化趨向上說明了“無窮小量“與“0“的內在聯繫，從而澄清了邏輯上的混亂，完善了微積分的發展。

柯西在《分析教程》中，不僅對極限概念進行基本明確的敘述，並以極限概念為基礎，對“無窮小量“、無窮級數的“和”等概念給出了比較明確的定義。

“極限”這一重要理論之後又經過波爾察諾、魏爾斯特拉斯、戴德金、康托等人的努力工作，進一步把極限論建立在嚴格的實數理論基礎上，並且形成了描述極限過程的ε-δ語言。

要想學好高等數學，就要弄清楚“極限”這一重要概念，認識到它是一個動態無限變化的過程，這樣變化的趨勢可以等於某一個常量。這一極限思想是建立微積分理論的重要思想基礎，對數學等眾多學科的發展有著的重大意義。