就像格羅滕迪克所說：“構成一個研究者創造力和想象力的本質，是他們聆聽事情內部聲音的能力。”這裡沒有等級高下，沒有階層之分，在對未知的探索前人人平等，每個人都擁有絕對的自由。每一個數學家願意孜孜不倦研究數學的最主要動力不是別的，是我們享受那種日複一日，能夠從現實生活中超越出來，去聆聽，和發現世界運行規律的時刻。
——許晨陽
編譯 | 烏鴉少年
許晨陽稱自己是那種“典型的數學家”，他不使用軟體，隻使用紙筆、粉筆和黑板。當你路過他的辦公室時，可能只會看到他踱來踱去，陷入沉思。
穿過校園去買一杯咖啡，或者從公寓走到辦公室，這樣的散步是他思考過程中必不可少的一部分。最近剛獲得麻省理工學院（MIT）數學系終身教授席位的許晨陽說：“我思考數學的方式是在頭腦中產生很多圖像。如果需要一張更清晰的圖像，我可能會畫一些東西，做一些計算。當我散步時，就會思考這些圖像。”這樣的散步有時會把他帶到同事的辦公室。“這裡有那麽多優秀的頭腦，我經常會跟系裡的同事們交流。”
數學家許晨陽 | 圖片來源：M. Scott Brauer/MIT
一、在代數與幾何的交叉處
許晨陽的研究方向是代數幾何。代數幾何是兩種數學分支的融合，一端是代數——關於方程的研究，另一端是幾何——關於形狀的研究。代數幾何所做的就是將抽象的代數中解決問題的方法應用到幾何中複雜而具體的形狀、曲面、空間和曲線。許晨陽曾經這樣解釋：“代數幾何是我們想用代數的方法來看幾何，拿這個工具來交換幾何的靈魂。”
代數幾何的基本問題是對一組多項式方程的解集進行分類，簡單說來就是對空間進行分類。其研究的基本對象名為代數簇（algebraic variety），也就是多項式方程組的解集的幾何表示。線性方程 y= x+2 在坐標平面上表示的直線，方程 x²+y²=1 表示的圓，以及 x²+y²+z²=1 表示的三維空間中的球面都是代數簇的例子。但是代數簇可以複雜得多，甚至還可以存在於更高的維度。
而雙有理幾何（Birational geometry）就是通過變換代數簇對其進行分類的一種方法。這個變換的過程就像是割補：從一個有著獨特形式的代數簇開始，切掉它凹凸不平的地方，讓一些褶皺變得平滑，最終得到一種更普遍的形狀。經過一番割補，許多最初截然不同的代數簇將變得相同，這時候，我們說它們屬於同樣的雙有理等價類（birational equivalence class）。
數學家蒂莫西·高爾斯（Sir William Timothy Gowers）曾用更加形象的語言描述了代數幾何在天文學中的作用：
“儘管人們現在已經接受時空是彎曲的，但也有可能正像地球表面的山巒和谷地一樣，我們所觀測到的曲率只不過是某個更為龐大、更為對稱的形狀上的小攝動。天文學中一個重大的未決問題就是去確定宇宙的大尺度形狀，即將恆星、黑洞等造成的彎曲熨平後宇宙的形狀。它是仍然像大球面一樣是彎曲的呢，還是像我們自然而然卻很可能錯誤地想象的那樣，是平坦的呢？”
通過散步以及與同事們的交談，許晨陽專注於用雙有理幾何的方法，在高維空間為這些代數簇分類。許晨陽說：“我喜歡和這個研究領域內的其他數學家交談。我們討論一會兒，然後回去獨自思考，遇到新的困難，再繼續討論。所以我的大多數論文基本上都是合作的成果。”
這樣的合作幫助許晨陽將研究引向了一個新的方向，從而發展出法諾簇（Fano variety）的k-穩定性這一新理論。法諾簇是三種雙有理等價類中的一種。k-穩定性則被許晨陽描述為是“為微分幾何研究而發明的一種代數定義”。八年前，他將一部分精力投入於k-穩定性的研究，試圖用代數幾何的工具，發展出一套基於k-穩定性的代數理論。之後經過幾年的間隔，由於與合作者普渡大學數學教授李馳的一番對話，他才終於回歸了這個題目。
李馳有更多的微分幾何背景，他將其中的概念轉移到了代數幾何當中。這時候許晨陽意識到，k-穩定性是一個很重要的研究題目。自此之後，他們做出了比四五年前預期的更多的工作。2014年，兩人共同發表了一篇關於“法諾簇的k-穩定性”的論文，引用次數頗高，在雙有理代數幾何領域提出了一個全新的理論。這項工作展示了許晨陽研究數學的方式：在解決具體問題之前，先發展新理論。
許晨陽說：“在我所在的領域，有些問題已經存在了40年，大家都在努力試圖解決。這些問題也留在我的腦袋裡。我做數學的方式是跟著理論，不是依靠技術去解決一個問題，而是首先發展理論。然後我們就會用一種全新的眼光看見新的東西。每當找到一套新理論，我都會用舊的經典問題來檢驗它是否有效。”
二、數學很美，也很深奧
許晨陽在四川成都附近長大，從小就喜歡數學。“我參加了一些數學奧林匹克競賽，成績還不錯，但不是金牌得主。”他笑著說道。不過他無疑具有足夠的天賦，並且在北京大學獲得了學士和碩士學位。
進入大學後，許晨陽開始學習更高階的數學，他發現數學很美，也很深奧。“對我而言，數學的很大一部分是藝術而非科學。”在北京大學學習的最後階段，他越來越多地專注於代數幾何。一方面，他非常喜歡幾何，想要做一些與幾何相關的課題。另一方面，他發現自己很擅長代數的技巧和方法。因此，用代數的方法來學習幾何非常適合他。
從北京大學畢業之後，許晨陽來到普林斯頓大學攻讀博士學位，他的導師 János Kollár 是一位傑出的代數幾何學家，對他產生了巨大的影響。“當然，我從他身上學到了很多方法，但更多的是我稱之為‘審美’的那些東西：數學中什麽問題是重要的？“他繼續解釋說，一般而言，處於職業生涯早期階段的研究生和博士後需要一些可以學習的榜樣。做數學是很複雜的事情，在一些節點上他們需要做出選擇，這需要權衡一個特定問題的難易程度或有趣程度，需要對其可操作性有更多實際的考量。
許晨陽（右）與博士導師János Kollár（左）及師兄英國帝國理工學院教授Alessio Corti（中）| 圖片來源：許晨陽
除了導師Kollár的指導，來到美國這樣一個全新的環境也促進了他的研究。許晨陽回憶道：“在那之前，我從來沒有離開過中國，所以經歷了一些文化衝擊。那時侯我還不太了解美國文化，不過這在某種程度上讓我更加專注於自己的工作。”
在2008年獲得博士學位後，許晨陽在麻省理工學院做了三年的博士後和C.L.E. 摩爾講師（C.L.E. Moore Instructor），之後在北京國際數學研究中心擔任了六年的教授，並於2018年回到麻省理工學院擔任數學教授。在這些年的經歷中，許晨陽展現出了對於尋找重要問題的天賦，成為了所在領域的領軍人物，並在代數雙有理幾何領域取得了一系列重大進展。
2017年，許晨陽憑借在雙有理幾何領域的基礎性貢獻，獲得“未來科學大獎”的首個數學與計算機科學獎。雙有理幾何領域的一些實際應用包括編碼和機器人技術。例如，通過將一系列二維圖像組合成視野中的類似場景，雙有理幾何技術被用來幫助機器人在三維空間中導航，從而讓機器人能夠“看見” 我們的三維世界。
由於對極小模型綱領（Minimal Model Program）的推進，並將其應用於代數簇，許晨陽獲得了2019年新視野獎，以表彰他在數學領域的早期職業成就。極小模型綱領是雙有理幾何領域的關鍵理論，於上世紀80年代初首次提出，其基本思想是通過在每一個雙有理等價類中尋找一個盡可能簡單的代數簇，來簡化對代數簇的雙有理分類，通俗來說就是將相似的形狀歸為同一類，從而簡化問題。許晨陽證明了一系列與極小模型綱領有關的猜想，將其擴展到之前從未測試過的某些情況的變體。
他發展的代數k-穩定性理論被證明是孕育新發現的沃土。許晨陽表示：“我仍然在研究這個課題，對我來說，這是一個特別有趣的問題。”他在證明植根於極小模型綱領的k-穩定性相關的其他關鍵猜想方面已經取得了進展。最近，在先前工作的基礎上，他證明了法諾代數簇的模空間的存在性。現在他正在努力為這個模空間的緊致性尋找一個解決方案。
許晨陽說：“這對於解決這個問題非常重要。我希望我們能夠解決問題的最後一部分，我很確定，那將會是我所做過的最好的工作。”
參考資料
[1]http://news.mit.edu/2020/chenyang-xu-professor-mathematics-0209
[2] https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2018/birkar-final.pdf
[3] https://www.quantamagazine.org/caucher-birkar-who-fled-war-and-found-asylum-wins-fields-medal-20180801/
[4] https://www.thepaper.cn/newsDetail_forward_1852889
[5] 數學家許晨陽：越純粹，越美妙，越自由. 《人物》雜誌（2018）
[6] 關於“法諾簇的k-穩定性”的論文：http://dx.doi.org/10.4007/annals.2014.180.1.4
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