你觀察過鸚鵡螺的外殼嗎？注意過松果表面的螺紋嗎？偵探劇中確定嫌疑人位置的三角定位是什麽原理？阿爾法狗的算法與數學有哪些關聯？
在史前時代，數學是為了實際應用而出現的。數字被用來計算羊群的數量，幾何圖形被用來測量田地並繪製道路。自那時以來，很多藝術家、創作者、匠人或者單純的夢想家和好奇者，在無意中踏入了數學的領地。他們是不自覺的數學家，是人類歷史上最早的提問者、最早的研究者、最早的頭腦風暴踐行者。如果想了解數學到底是什麽，我們就必須追隨他們的腳步，因為一切正是因為他們而起。
法國概率學博士米卡埃爾·洛奈所著的這本《萬物皆數：從史前時期到人工智能，跨越千年的數學之旅》（以下簡稱《萬物皆數》）將引領我們穿越回史前時代、四大文明古國、歐洲中世紀與文藝複興時期，也會帶領我們漫步於巴黎盧浮宮與發現宮。作者巧妙運用歷史學的方法，構建了無數歷史或現今的場景，將數學從亭台樓閣之上帶入我們的日常生活，將數學之美化為一篇篇優美的文字，娓娓道來。
今天刊登的章節取自書中第八章“三角原力”，介紹了阿拉伯學者在三角學方面的貢獻。微信公號下留言被點讚最多（截至6月15日24點）的四位讀者可獲贈《萬物皆數》一本。
作者 | 米卡埃爾·洛奈
譯者 | 孫佳雯
公元762 年，我們又重新回到美索不達米亞平原——所有故事開始的地方。彼時，古巴比倫文明已經作古，只剩下一片斷壁殘垣，然而，不可思議的研究工作已經在距離此地100千米左右的北部地區展開了。正是在這裡，底格裡斯河的右岸，阿拔斯王朝的哈裡發阿布· 曼蘇爾決定建立他的新首都。
此前，阿拉伯帝國剛剛經歷了快速擴張的一個世紀。130年前， 即公元632年，34歲的婆羅摩笈多剛剛完成《婆羅摩修正體系》；哈裡發們一個接一個地繼續著征服世界的征程，從西班牙南部到北非、波斯、美索不達米亞，一直抵達印度河流域。
阿布· 曼蘇爾治下的哈裡發帝國，幅員超過1000萬平方千米。就算在今天， 這樣大的領土也算得上世界第二大國，僅次於俄羅斯，但比加拿大、美國或者中國都要大。阿布· 曼蘇爾是一位英明的哈裡發。為了建造新都城，他請來了阿拉伯世界最優秀的建築師、工匠和藝術家。他將建築地點和開工日期的選擇，全權委託給了他請來的地理學家和天文學家。
為了打造他夢想中的城市，阿布· 曼蘇爾花費了4年時間，征用了超過10萬的建築工人。新首都的特點是它的輪廓——完美的正圓形。城郭由雙層的同心圓構成，周長8千米，圓周上均勻分布著112座防禦塔樓，同時沿著直徑在東南西北四個方向的城牆上開了四扇城門。在城市的中心位置，是兵營、清真寺和哈裡發宮殿，宮殿有著漂亮的綠色圓形穹頂，總高度在50米左右，方圓20千米的範圍內都能看到。
新城竣工之時，被賦予Madīnat as-Salām之名，意思是“和平之城”。人們也稱之為Madīnat al-A nwār，即“光明之城”；或者Āsimat ad-Dunyā，即“世界的首都”。然而，伴隨著阿布· 曼蘇爾的這座城市真正被載入史冊的，則是另外一個名字：巴格達。
很快，巴格達的人口就達到了數十萬。這座城市位於主要貿易路線的交會處，城中的街道上擠滿了來自世界各地的客商。貨攤上鋪滿了絲綢、黃金和象牙，空氣中充滿了香水和香料的味道，城市中的人們低聲傳唱著來自遠方的故事。這是《一千零一夜》和傳說故事的時代；是蘇丹、大臣與公主的時代；是飛毯、精靈和神燈的時代。
阿布· 曼蘇爾和接替他的哈裡發們，希望將巴格達建設成一座一流的文化與科學城市。於是，為了吸引那些偉大的學者們前來，哈裡發們將使用一個成功性在1000年以前的亞歷山大港就已經被證明的“誘餌”：一座圖書館。公元8世紀末期，哈裡發哈倫· 拉希德開始創建藏書館，他希望能夠保存那些從古希臘時期、古美索不達米亞時期、古埃及時期以及古印度時期積累下來的知識，並讓這些知識真正地“活”過來。
這一時期，大量的書籍被複製並被翻譯成了阿拉伯語。彼時，依然還在知識界大量流傳的、來自古希臘時期的著作首先被巴格達的學者們翻譯成了阿拉伯語。幾年之後，歐幾裡得的《幾何原本》已經有若乾個阿拉伯語版本問世。人們還翻譯了阿基米德的數篇論文（包括《圓的測量》），托勒密的《天文學大成》及丟番圖的《算術》。
公元9世紀初期，數學家花拉子米發表了他的重要著作之一《印度數字算術》。在這本書中，他描述了來自印度的十進製記數系統。多虧了花拉子米的工作，包括0在內的10個數字從此將傳遍阿拉伯世界，進而被全世界的人們所接受。在阿拉伯語中，零寫作zifr，意為“空”。在傳向歐洲的過程中，這個單詞“分裂”為兩個部分：一部分變成了意大利語的“zefiro”，後來變成了法語的“zéro”（零）；另一部分變成了拉丁語的“cifra”，後來變成了法語的“chiffre”（數字）。在歐洲，人們忘記了這10個數字元號來源於印度，並稱之為“阿拉伯數字”。
公元809年，哈倫· 拉希德去世，他的兒子阿明繼承哈裡發位。阿明的統治時間並不長，公元813年，他被自己的兄弟馬蒙廢黜。
傳說，有一天晚上，馬蒙在夢中見到了亞裡士多德來訪。這次夢中的會面深深地影響了這位年輕的哈裡發，他決定為科學研究事業增加新的推動力，並且隨時歡迎世界各地的學者來到他的城市。因此，公元832年，巴格達圖書館成立了一個機構，旨在促進科學知識的保護和發展。這個機構被稱為“Bayt al-Hikma”，即“智慧之家”，它獨特的運行模式讓人聯想起了亞歷山大港的博物館。
哈裡發馬蒙在很大程度上參與了智慧之家的發展。他直接與外國交涉，比如拜佔庭帝國，只為了將幾本稀有的書籍引進巴格達，並且在巴格達複製和翻譯成阿拉伯語；他命令學者們將科學書籍推廣到整個哈裡發的疆域；他有時甚至親自參加科學或者哲學的辯論——在智慧之家，這樣的辯論每星期至少有一次。
幾個世紀之後，巴格達的智慧之家將會“散布”到整個阿拉伯世界。許多其他城市也將建設起自己的圖書館和專門招待學者的機構，其中最有影響力也最活躍的例子，包括公元10世紀安達盧西亞的科爾多瓦城、公元11世紀埃及的開羅城、公元14世紀位於現今摩洛哥的非斯城。
應該說，科學的這種從一個中心向地方分散的過程，在很大程度上因為一個來自中國的發明而變得更加容易，那就是紙。紙的到來幾乎是一個偶然，那是在公元751年，在現今哈薩克地區爆發的怛羅斯之戰的過程中實現的。[1]紙讓書籍更容易被複製和運輸，從此，人們不再需要親自前往巴格達，也能了解在數學、天文學和地理學方面最前沿的新發現。偉大的科學家們也能夠在阿拉伯帝國的各個角落進行自己的研究、創作出革命性的新作品。
阿蘭布拉宮的密鋪
那些人類歷史上偉大的靈魂在智慧之家內創造數學史的時候，在巴格達和其他阿拉伯城市的阡陌小巷中，歷史通過另外一種方法繼續著。原則上，伊斯蘭教禁止在清真寺或者其他宗教場所出現人類或者動物的肖像。因此，為了恪守這一禁令，穆斯林藝術家們在裝飾性幾何圖案的設計和發展中，展現出了令人驚歎的創造力。
你應該還記得定居於美索不達米亞平原的古代部落中，第一批設計出花紋來裝飾陶罐的那些工匠們。他們在不知不覺中發現了全部7種類型的腰線畫法。那麽，如果說一條腰線是在一個方向上重複某一圖案的話，我們應該也可以想象在兩個方向上重複這個圖案，也就是鋪滿整個表面。這就是我們所說的“密鋪”。巴格達與其他伊斯蘭城市的街道將逐漸地換上華麗的幾何新裝，這將成為伊斯蘭藝術製造的標誌之一。
樣式簡單的密鋪
樣式複雜的密鋪
不久之後，數學家們將會成功地證明，存在且只存在17種類型的幾何密鋪，所有的密鋪都是其中某一種類型的幾何形變。而每一個類別的密鋪，都能產生無數種不同的變體密鋪。阿拉伯藝術家們在不知道這個定理的情況下，發現了全部17 種類型的密鋪，並且巧妙地將它們運用到建築設計中，如同將它們運用到日常生活或者藝術裝飾之中一樣。
在安達盧西亞的首府格拉納達，阿蘭布拉宮是中世紀的伊斯蘭世界在西班牙留下的引人注目的古跡之一。每一年，都有超過200萬的遊客到此參觀， 而很少有人知道的是，對於數學家來說，這座宮殿享有著特殊的聲譽。事實上，阿蘭布拉宮之所以聲名在外，是因為在它的內部，從花園到大廳當中，能夠找到全部17 種類型的密鋪——雖然有的時候需要花點兒工夫去“挖掘”。
所以，如果未來的某一天你來到格拉納達，你知道不可錯過的是什麽了吧。
讓我們在巴格達再多停留片刻，推開智慧之家的大門，看看裡面到底有什麽。這些阿拉伯的數學家們，在為我們精心創造什麽樣的新數學呢？在圖書館書架上堆放著的那些剛剛寫好的新書，又是關於什麽的呢？
在這一時期，發展最為迅速和成熟的學科之一是三角學，也就是關於測量三角形的研究。乍一看，這似乎令人有點兒失望：古代人已經對三角形做了研究，畢達哥拉斯定理就是證據。然而，阿拉伯人將他們對三角學的研究發展到了極致，使之成為一門非常精確的學科，阿拉伯數學家們得出的諸多結論，到今天我們依然在使用。
與人們想象中的可能有所不同，三角形並不總是那麽容易理解的，在古典時代末期的時候，有很多方面還有待厘清。為了了解一個三角形，我們需要弄清楚它的6個主要信息：三條邊的邊長和三個角的度數。
然而，在實際工作中使用三角學測量的時候，測量兩個方向的夾角往往比測量三角形兩個頂點之間的距離更加容易。天文學就是一個最明顯的例子。我們會觀察夜空中的星星，但是兩顆星星之間的距離是非常難以確定的，有的時候，人們不得不等上幾個世紀來找到答案；而另一方面，測量這些星星彼此之間或者與地平線之間構成的角度就簡單得多了，一個簡單的八分儀——六分儀的前身——就足夠了。同理，一位想要繪製地圖的地理學家會發現，他可以很容易地測量出由三座山構成的三角形的三個角的角度。他所需要的不過是一台照準儀（一種帶有瞄準系統的量角器）而已。為了給地圖定向，只需要一個簡單的羅盤，就能測量出正北方向和一個給定方向之間的角度。然而，測量給定三座山之間的距離，卻需要一場沉悶無聊的旅行以及更加複雜的計算。在這一點上，相信亞歷山大大帝和他的土地測量員們是不會反駁我們的！
所以，三角學的目的是這樣的：如何在測量盡可能少的距離的前提下，知道關於某個三角形的全部信息？通過這個問題，三角學的學者們發現自己面對的是一個類似於阿基米德早在1000多年前就被問到過的問題。首先，如果我們知道三角形三個角的大小，但是並不知道任意一條邊長，我們能夠推斷這個三角形的形狀，但是不能推斷它的大小。作為證據，請看下面這組三角形，它們都有同樣的內角，但是邊長卻不盡相同。
然而，這3個三角形卻具有相同的比例。比如，如果我們想知道三角形最短的一條邊邊長除以最長的一條邊邊長等於多少，就會發現這3個三角形會給出同樣的答案，那就是0.64！這就有點兒類似於無論一個圓是大是小，它的周長總是等於直徑乘以π。
好吧，其實是差不多0.64，這個數字不過是一個近似值。如同 π 的數值一樣，這個數值不可能被精確地計算出來，我們不得不採用它的近似值。如果我們提高計算的精度，會得到0.642或者0.64278，但是這仍然是不精確的。在十進製的記數系統之下，這個數字的小數點之後會有無窮位（即無理數）。如果我們計算這些三角形中的其他邊長之間的比例，情況也是一樣。因此，我們得出結論，上述3個三角形中，斜邊的邊長乘以0.766等於較長的那條直角邊邊長，而較短的直角邊乘以1.192也等於較長的那條直角邊邊長。
因為我們沒有辦法準確地給出這3個比例的精確值，為了更好地研究它們，數學家們給它們分別起了名字。根據時代和地點的不同，這些稱呼也有所不同，但是在今天，我們統一稱它們為“餘弦”（cos）、“ 正弦”（sin）和“正切”（tan）。它們的變形同樣也被發明出來並得到了應用——雖然後來它們又被人們遺忘了。例如，古埃及人曾使用“謝特”（seked）[2]來估計金字塔的斜率；古希臘人使用繩索來測量等腰三角形中的邊長比例。
然而，三角形的邊長比例將帶來一個新的問題。對於每一個三角形來說，邊長比例的數值都是不同的。因此，邊長比例分別為0.642、0.766和1.192的三角形，只可能是三個內角分別為40°、50°和90°的三角形。換言之，如果我們考察三個內角分別為20°、70 ° 和90°的直角三角形，那麽70 °角的餘弦值、正弦值和正切值將分別0.342、0.940和2.747！總之，研究三角學的數學家們所面臨的任務，比他們想象中的要繁重得多。因為這並不僅僅意味著要找出一個數字，甚至不是要找出三個數字，這意味著要製作出一個完整的列表，計算出關於所有可能的三角形內角的數據！
下面就是一張直角三角形數據表， 列舉了一個內角從10 ° 到80 ° 的部分數值。你會注意到， 表格中的三角形都只有一個內角度數被標出來了。事實上，的確沒有必要把所有的內角度數都標出來，因為我們可以很容易地算出來：一方面，直角的度數始終是90° ；另一方面，定理指出，三角形三個內角之和為180 °， 因此我們可以推導出第三個角的度數。事實上， 我們甚至都沒有必要繪製出一個三角形， 只需要這個給定的內角度數就足以重建三角形。這就是為什麽三角函數列表的第一列中往往隻給出角度的度數。因此，我們會說，10 ° 角的餘弦等於0.9848， 或者50 ° 角的正切等於1.1918。
當然了，一個“完整”的三角函數列表是永遠不可能被完成的。我們總是能夠對它加以改進，或者找到其中某個比例的更精確的近似值，或者是細化表格中三角形的種類。在上面的表格中，兩個臨近的角度之間相差10°，但是如果精度能夠做到1°或者1/10°，應該會更好。總之，計算出更精細的三角函數表是一個永無止境的任務，因此一代又一代的數學家前仆後繼，投身於此。直到20世紀中期，電子計算機的出現，才最終將他們從這種無盡的繁重負擔中解脫出來。
毫無疑問，希臘人是人類歷史上第一個建立三角函數表的民族。現今流傳下來的最古老的三角函數表載於托勒密的《天文學大成》，曾經被公元前2世紀的一位數學家喜帕恰斯借用。公元5世紀末期，印度學者阿耶波多也發表了三角函數表；中世紀時期，生活於公元11世紀的波斯人歐瑪爾· 海亞姆和14世紀的阿爾· 卡西也都建立了著名的三角函數表。
對於三角學來說，阿拉伯世界的學者們將起到關鍵的作用，不僅僅是因為他們撰寫出了更精確的三角函數表，還因為他們對於三角函數的應用。阿拉伯學者不但最有效率地使用了三角函數表， 還將三角函數的藝術發展到了頂峰。
1427年， 阿爾· 卡西發表了他的著作Mif tāḥ al-ḥisāb ，即《算術之鑰》。在這本書中，卡西描述了一個從畢達哥拉斯定理推導出來的結論。通過巧妙地運用餘弦，卡西最終創造出一條對所有三角形——而不僅僅是直角三角形——都絕對適用的定理。卡西定理的原理基於修正的畢達哥拉斯定理：如果一個三角形不是直角三角形，那麽兩條較短邊邊長的平方和就不等於第三條邊的平方。然而，只需要添加一個修正項， 這個等式就又會成立了，而這個修正項是通過計算兩條較短邊邊長之間的夾角的餘弦得出的。
在卡西發表研究結果之前，他在數學界就已經不是一個籍籍無名的小輩了。1424年，他就因為計算出了π 值小數點後16位數值而在數學界大放異彩。在當時，這可算得上是世界紀錄了！但是，紀錄存在的意義就是為了被打破[3]，而定理卻恰恰相反，它們會永久留存。直到今天，卡西定理依然是經常使用的三角學結論之一。
巴黎左岸。正值六月盛夏，而此刻的我則變身為一個有些特別的導遊。這一天，我帶領著一個大約20人的旅遊團在拉丁區的街道上漫步，追尋數學和數學史的腳步。我們的下一站，是偉大的探險者們的花園。面向北方，可以看見盧森堡公園對稱的林蔭小徑，一行行，一列列，齊齊通往盧森堡宮的方向。面向南方，可以看見巴黎天文台的穹頂，它那渾圓的身軀傲然挺立，俯瞰著腳下的首都。
沿著盧森堡公園的中軸線，我們像走鋼索一樣，精確地走在了巴黎子午線之上。只要不小心向左邊偏一步，我們就踏入了世界的東半球，再朝右邊走兩步，我們就踏入了世界的西半球。500米開外的地方，巴黎子午線穿過巴黎天文台的正中心，筆直地進入巴黎第14區，然後從蒙蘇裡公園穿出，就此離開巴黎。接下來，巴黎子午線一路向南，穿越法國廣袤的鄉村風光，並將西班牙一分為二，然後貫穿整個非洲大陸和南極大洋，最終一頭扎入南極點。而在我們身後，巴黎子午線一路向北，沿著蒙馬特高地的街道一路攀登，與不列顛群島和挪威擦肩而過，最終抵達北極點。
想要精確地畫出地球經線的路徑並不是一件容易的事，因為這需要在大面積的範圍內做精密的調查。例如，我們如何能夠在不穿越一座大山的情況下，精確地測量出這座山兩側的兩個點之間的距離？為了回答這個問題，18世紀初期的學者們用一系列的、從法國南部到北部的虛擬三角形來覆蓋巴黎子午線。
三角測量的關鍵點被選在了海拔較高的地方，比如丘陵、山地或者鍾樓，從這些地方出發，人們能夠瞄準其他的定點，並測量它們之間的角度。一旦完成這些角度的采集，剩下的只不過是大量地使用阿拉伯人發明的三角學方法，來確定三角形中每一個點的精確位置，而將這些點連接起來，就能測定巴黎子午線。
卡西尼家族是第一批獻身於測量巴黎子午線事業的研究者之一。這個家族是一個貨真價實的科學世家，以至於人們用命名國王的方式來指代該家族中的成員！喬瓦尼· 多梅尼科，也就是卡西尼一世，是第一代來到法國的意大利移民，1671年巴黎天文台建成後，他出任第一任總監。他的兒子雅克，或稱為卡西尼二世，在1712年卡西尼一世去世後接替了他的位置。卡西尼一世和二世最先開始使用三角測量法繪製覆蓋巴黎子午線的三角形，這項工作在1718年完成。在他們之後，卡西尼三世（卡西尼二世的兒子，名叫塞薩爾· 弗朗索瓦）也使用了三角測量法，在父親和祖父測量出的三角形序列的基礎上，第一個繪製出了法國整個領土範圍內的巴黎子午線。1744年，卡西尼三世發表了他的成果——第一張建立在嚴謹的科學考察基礎上的全法地圖。卡西尼三世的兒子讓· 多米尼克，也就是卡西尼四世，繼承了父親的事業並將其做了細化，他用三角測量法繪製出了法國每一個地區的地圖。
744年的法國地圖，上面有卡西尼家族繪製的一系列關鍵的三角形， 還有巴黎子午線的位置
沿著巴黎子午線一路向前，我們仿佛正在追隨著那些建立了三角學基礎理論的古代阿拉伯學者的腳步。在地圖上，每一個三角形的繪製都需要用到餘弦、正弦或者正切。每一個三角形都承載著來自阿爾· 卡西和巴格達第一代三角學學家們的智慧遺產。所有這些數據，都需要科學觀測者們在三角函數表的幫助下，花費無數的時間手動計算。
卡西尼家族之後，三角測量法依然被繼續使用，直到20世紀人造衛星橫空出世。最精確的網絡，計數點高達8萬個。那些標記著計數點的標誌至今仍然可見，它們遍布整個法國領土。在巴黎，你仍然可以找到兩個確定巴黎子午線的瞄準點：其中一點在南邊的蒙蘇裡公園中，另外一點在北邊的蒙馬特高地之上。1994年，以天文學家弗朗索瓦· 阿拉果之名打造的35枚紀念章被安置在巴黎市內的巴黎子午線的35個點上，其中之一就位於盧浮宮內。下次當你在巴黎的街道上漫步的時候，請睜大你的眼睛，說不定能發現一些紀念章呢！
公製（米製）的出現是在法國大革命期間，出於對普及性的考慮，而對於“1 米”長度的界定，正好與巴黎子午線有關。1米恰好等於巴黎子午線長度的四千萬分之一（從北極到巴黎再到赤道這一部分長度的千萬分之一）。1796年，16個用大理石雕刻的標準米尺被安置在巴黎市的各個角落，任何人都能夠前去參考。今天，16個大理石米尺還剩下2個， 其中一個位於盧森堡公園對面的沃日拉爾路上，另外一個位於法國司法部門前的旺多姆廣場。
一直到1884年，在美國華盛頓召開的國際本初子午線大會之前，巴黎子午線始終都是重要的參照。然而在那次大會上，巴黎子午線被穿過英國倫敦皇家天文台的格林尼治子午線取代。因為子午線的變換，英國人承諾會調整長度公製，而我們還一直在等待這一刻的到來。
隨著電子計算機和人造衛星的到來，三角函數表和實地三角測量法失去了原有的作用。但是，三角學卻並沒有沒落，而是進入了那些處理器的核心部位。三角形們藏了起來，但是它們始終都在那裡，沒有消失。
看，天文觀測台大道上車水馬龍，川流不息。現在的汽車通常都裝配了全球定位系統，無論何時，汽車的軌跡都由它們所在的位置決定，而它們的位置則由位於太空中的4 顆衛星進行追蹤。定位的過程依然需要使用三角學。那些駕駛車輛的司機是否知道，他們的GPS 導航儀發出的“向左轉、向右轉”的指令，實際上是使用正弦或者餘弦計算得出的即時結論呢？
另外，當你觀看警匪片或偵探劇的時候，有沒有聽過電視裡某位調查員說，犯罪嫌疑人的電話已經通過三角定位鎖定？這種定位之所以能確定一台正在使用的手機的位置，是因為它能測定這部手機距離附近最近的3個信號發射點的距離。這個幾何問題的解決不得不依賴於一些三角學公式，而我們的電子計算機能夠以迅雷不及掩耳之勢計算出所需要的結果。
三角學不僅在現實測量中被使用，還在創建虛擬世界的過程中大放異彩。三維動畫電影和視頻遊戲中，就大量使用了三角學原理。下頁圖片所示的是由一些幾何圖形組成的紋理，這些由幾何網眼形成的3D結構讓人想起卡西尼家族地圖上那些奇奇怪怪的三角形。正是這些網狀結構，通過變形，使得物體和人物“動”了起來。任何合成圖形的計算，比如下面這個猶他茶壺[4]——這是1975年第一批通過計算機建模實現繪製的物體之一，都需要大量的三角學公式的應用。
參考文獻
[1] 編注：近年已有學者考證，造紙術經怛羅斯之戰西傳為誤傳。造紙術在怛羅斯之戰前已通過和平方式從唐屬國拔汗那的首府浩罕傳入中亞的撒馬爾罕。
[2] 譯注：金字塔某一面的斜率，在埃及語中也被稱為“謝特”（seked），相當於兩個高度之間相差 1 肘尺的定點在水準線上投影的距離。
[3] 170年之後，荷蘭數學家魯道夫 · 范 · 科伊倫算出了 π 值小數點後的35位數值。
[4] 譯注：或稱紐維爾茶壺，是在計算機圖形學界廣泛採用的標準參照物（有時也是個內行幽默）。其造型來自於生活中常見的造型簡單的茶壺，被製成數學模型，外表為實心、柱狀和部分曲面。
本文節選自《萬物皆數：從史前時期到人工智能，跨越千年的數學之旅》，北京聯合出版公司出版。
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