如此工整的方程，何其美妙，何其困難

丟番圖方程是數學研究的最古老、最廣的對象之一，它是一個具有幾個未知數和整數（或有理數）系數的代數方程或方程組，它的求解需在整數（或有理數）範圍內進行。丟番圖方程的名字源自於古希臘亞歷山大城的數學家丟番圖（Diophantus of Alexandria），他在著名的《算術》一書中就討論了這類方程。

丟番圖方程的最著名一個例子是在費馬大定理中的出現。這是費馬在1637年所作出的一次沒有經過論證的陳述：關於X、Y、Z的丟番圖方程X? + Y?= Z?，在n至少為3時，除了XYZ=0時出現的平凡解之外，沒有其他整數解。對這一方程的研究促進了數論在許多方面的發展。到了1995年，安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）才最終證明了這個定理。

人們想回答的一個基本問題是：一組給定的方程組是否有解？如果有的話，我們如何找到或描述它們？雖然費馬方程沒有非平凡解，但是類似的方程（例如X?+15Y?=Z?）卻可以有非平凡解。在發表於1900年的著名的“希爾伯特的23個問題”中，其中一個就是關於丟番圖方程的可解性：對於一個給定的丟番圖方程組，是否可以用一種算法來判斷它是否有整數解。這實際上是在問電腦程式是否可以檢查可解性。馬丁·戴維斯（Martin Davis）、尤裡·馬季亞謝維奇（Yuri Matiyasevich）、希拉裡·普特南（Hilary Putnam）和茱莉亞·羅賓遜（Julia Robinson）在1970年的研究工作表明，根本沒有這樣的算法。即使對於平面三次曲線來說，有理解的相應問題是否可判斷也仍然是未知的。這一最後的問題與克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute）的獎金百萬美金的一個千禧年問題——貝赫和斯維訥通-戴爾猜想（BSD猜想）有關。

我們可以認為有限解的存在僅僅是偶然的，並試圖去判斷一個給定的方程組是否有無窮多個解。例如，我們都知道對於任何的非零有理數a、b和n ? 4來說，方程ax? + by?= 1只能有有限多個解。這是法爾廷斯（Gerd Faltings）在1983年證明的莫德爾猜想（Mordell conjecture，於1922年提出）的結果中的一種特殊情況。人們可以為能有多少解給出一個上限，但到目前為止，沒有人能夠限制這些解可能有多“複雜”（也就是說給分子和分母一個最大值），因此我們沒有已知的能找到所有解的方法。

歐拉猜想進一步地強化了費馬大定理：如果n個整數的k次冪之和等於一個整數的k次冪，那麽n ? k。對於n=2，這就回到了費馬大定理。但是，這個猜想是錯誤的！1966年，Leon Lander和Thomas R. Parkin發現了一個n=4時的反例：27? + 84?+ 110?+ 133?= 144?。1986年，美國數學家Noam Elkies又發現一個n = 3的反例。

理解丟番圖方程的解當然不是一件易事。但我們可以提出一些更溫和的問題。例如考慮解方程X?+Y?= Z?+T?的正整數解X、Y、Z、T。在 = 這種情況下，它有無窮多個“明顯的”解。人們相信，但不知道，這些是唯一的解決辦法。否則，我們無法知道是否可以用兩種方式將一個整數寫成兩個5次冪的和。但它已在1936年和1964年被證明，如果我們記錄大量的解，那麽會發現明顯的解遠多於不明顯的解。

丟番圖方程的研究方法多種多樣，其中包括代數，特別是代數幾何，還有各種分析方法（使用微積分），以及來自數理邏輯的方法。

https://www.maths.ox.ac.uk/about-us/life-oxford-mathematics/oxford-mathematics-alphabet/d-diophantine-equations