編者按
提到岡潔，國內的朋友可能還不太熟悉。他被譽為“日本的阿基米德”，曾攻克多複變函數論中的“三大難題”，為現代數學的發展做出了傑出貢獻。1960年，岡潔因其在數學領域的貢獻被日本天皇授予文化勳章。另外，岡潔還擔任過湯川秀樹（1949年諾貝爾物理學獎得主）和朝永振一郎（1965年諾貝爾物理學家得主）的數學老師。
朝永振一郎曾在其回憶錄中寫道：岡潔老師和秋月康夫老師的數學研討課，如同一陣陣清爽的涼風，總是能為沉悶的教室帶來新鮮空氣。
岡潔在數學領域雖然功績卓越，但讓他在日本家喻戶曉的卻是他的文集《春夜十話》。書中濃縮了岡潔對於數學、教育、文學藝術的思考，從“情緒與心智”的角度，探討了認知發展義務教育中的深層問題，提出的“情操教育”與“情緒認知”的觀點，對日本幾代人影響至深，並為理解數學、日本民族性乃至“人”本身提供了一種純粹而直觀的新思考。原日本文部大臣、東京大學前校長有馬朗人曾稱：“岡潔先生對數學的思考、對教育方法的考察以及對日本世態的批判仍具有警醒現世之力。”
人民郵電出版社，2019
岡潔作為學者，度過了極富特色的的一生。留學法國，當過幾所大學的老師後，在35歲之後辭去了職務，開始了農業。但是，一面從事農活一面繼續思索，接二連三地完成了數學上的重大發現。據說岡潔建立的多複變函數論是在情緒的作用下誕生的，而非邏輯。岡潔說“與數學最相似的就是農民”，兩者的工作都是灑下種子並培育，其創造力都在於從“無”到“有”的過程。也就是說，如果數學家選好了種子，那麽之後的事情就是看著它長大，而長大的力量在於種子。此外，岡潔還強調，不論是學術還是藝術，都應將直觀力作為基礎，在研究數學時通過藝術和文學來培養情緒非常重要。他說，“數學的目標是真實中的和諧，藝術的目標是審美中的和諧，在其中起作用的都是情緒。兩者因為同樣都是和諧而有著相通的一面，且審美中的和諧比較容易感覺到，因此，為了感知真實中的和諧是什麽，接觸優秀的藝術就是最好的方法。”
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撰文 | 岡潔
為什麽繪畫教育非常重要
我主要從事數學研究工作，但也稍涉足教育。日本教育中的某些現象令我十分擔憂。今天我想提醒大家，兒童繪畫教育十分重要，請認真對待，莫敷衍了事。
一般情況下，周五我都會去京都大學的研究生院指導年輕的數學家做研究。前幾天去的時候，我發現街道上人聲鼎沸。問了旁邊的人，說是蘇聯宇航員加加林要來了，或者可能已經來了。總之，整條街上沸反盈天。我不喜嘈雜，幸好那日氣象不錯，於是改變主意去了位於七條的博物館。恰逢博物館的新藏品展覽，本只打算走馬觀花地隨便看看，沒曾想碰到了一幅色相俱佳的花鳥畫。那是一幅中國宋朝時期的畫作，畫上只有白色的山茶花和一隻鳥，但卻處處透露出靈動，讓我甚是喜愛。寺田先生在高中時曾問夏目漱石俳句究竟是什麽，漱石答：“俳句即如‘林間何人家，星火共幽閑’（しぐるるや黒木つむ屋の窓明り）。”漱石的回答實在精辟。
欣賞畫作令人賞心悅目。時代的光景都清晰地留在了這些美術作品上。欣賞畫作就像是回溯漫長的時代，去看當年的景象。
我在電視上聽加加林說：“地球人口的快速增長導致地球變得越來越擁擠，好在不久的將來人類就能移居外星球了。”其實人們堅信空間存在，只是因為空間是可見的。過去人們堅信存在物理學性的空間，但第一次世界大戰結束前夕，愛因斯坦否定了這一點。當今的科學認為不存在物理學意義上的空間，只存在維度空間。至於是否存在數學性的空間，這個問題暫未有定論，仍在研究之中。1937 年，德國的一位數學家發表論文，論證了數學空間的存在。可惜當時正值戰亂，鮮有學者關注，直到戰爭結束才重新受到重視。日本有一位數學家十分關注這一領域，他常常跪在鋪滿了演算紙的地板上研究上面密密麻麻的符號。數學家秋月康夫十分欣賞他，曾對我說：“岡君，那才是數學，和邏輯無關。”既然他能得到秋月康夫這樣的評價，想必他的研究必然有一定意義。據說他已證得數學上存在空間，我個人也是傾向於相信存在數學空間的。
這樣看來，空間似乎並不是多麽可靠的東西。空間中呈現出的由恆星、行星構成的宇宙結構，與其說它是科學，不如說它更像一幅畫。究竟宇宙中除地球外是否還有存在生命的星球呢？有蘇聯研究者稱，除地球外應該有一兩個存在生命的星球，但其他國家的研究者尚未發表相關言論。空間本就是未知的奇怪東西，在尚未弄清是否可以在地球以外的星球居住之前，科學家不應該說出當地球變得擁擠就移居去其他星球的話。當時在蘇聯，加加林的擁護者非常多，從他嘴裡說出的話自然會受到關注。宇宙時代說的就是那個時期的事情。
自古以來，人都在追問物質究竟是什麽。以前的人將物質視為一種不可知、也不會消失的東西——“以太”。後來，以太的說法從研究領域消失了，但維度空間的構想又取而代之。這種構想不僅超越了當前物理學的範疇，甚至也超越了數學。研究總能在不同階段發現一些似乎可以信賴的東西，但永恆可以信賴的東西，似乎並不存在。
說到不可信賴，美也是如此。如果以最美的東西舉例，男子會認為最美的是女子的容顏，而對女子而言，卻可能認為是男子的面容。女子怎樣的容貌才能被稱為美？奈良時代以女子圓臉為美，平安時代卻喜鵝蛋臉，到了鐮倉時代又重回圓臉至上的審美，後面的德川時代又變回以鵝蛋臉為美。美沒有統一的標準，就像日本的提燈，時而以長為美，時而以短為美。
明治時期，人人都嚮往維納斯的美。但大正時期，備受推崇的卻是好萊塢女星的面容。可見，戰後美的標準仍在不斷變化。究竟何為美，著實不易理解。美並不是實際存在的東西。當我們感受美時，是我們的情緒在發揮作用。有一日，我在奈良公園沿著“私語小徑”散步後，走到馬路上竟絲毫不再介意卡車和巴士發出的噪聲。汽車發出噪聲是客觀事實，但是否嫌它嘈雜全在於我們個人。
言及情緒，自然會聯想起繪畫。繪畫教育當大膽去實施，但也要知道，繪畫教育中的責任也非常沉重。一般來說，感情失衡多因情操教育出了問題。
感情就像大海，上面波濤洶湧的是情緒，下面波瀾不驚的是情操。雖然我們習慣統稱為情緒、情操，但實際上並不能一概而論。日本大和民族有大和民族式的情緒流動，每個人也都有自己的情緒流動。情緒就是指這種流動的曲線。就像每隻麻雀都有自己的起飛方式，任何一隻的起飛曲線都是獨一無二的。所以說，順其自然就好，我們可以將其稱為心情上的美。有些商品不討喜，是因為它無法與人的情緒曲線相匹配。能夠匹配人的情緒曲線的東西，就能讓人心情好，也就可以視為心情上的美。
最後，我想來談一談數學，隻怕大多數人根本不知道數學究竟是什麽。龐加萊認為數學本質在於和諧精神。龐加萊去世後不久，第一次世界大戰就爆發了，和諧的精神蕩然無存。第二次世界大戰後，情況更加嚴峻。雖然高校數量不斷增多，數學論文的數量也不斷攀升，但那些論文就是廢紙，言之無物。龐加萊之後，渴望探知數學本質的人越來越少，但我們必須努力更深一步地感悟和諧，這可以通過藝術欣賞來實現。雖然藝術和數學表面上看是八竿子也打不著的學科，但它們的目的其實殊途同歸。比如說文藝複興時期的畫作表現出大量探索和寫實的精神，這不正是伽利略推翻亞裡士多德學派的關鍵嗎？不清楚藝術和學問之間的關係，則難在數學上有所發現。近來常說振興科學，但喪失情操談何振興。
現在的狀況雖令人沮喪，但我只要憶起童年，內心便充滿愉悅之情。不管是站在畫板前還是單手扶著畫板畫畫，都是我年少時美好的回憶。若老師本身熱愛繪畫，那體驗更是痛快。升入高中後，我仍留有自由繪畫的時間。扔掉製圖工具，用木炭畫一幅希臘石膏像素描的感覺也非常不錯。隻歎不久後戰爭爆發，我再也沒能享受此般美好的時間。
近來我十分懷念畫畫的美好。去年夏天，我想去藥師寺寫生，於是買了畫架等，但夏天一過，光線變弱，便提不起畫畫的興致。今年也是忙著匯總某研究成果，完全抽不開身。真希望明年夏天能去痛痛快快地寫生一場。
如何建立數學意識
數學是一門用知性文字表達人類內在的學問與藝術，所以數學教育的任務應是啟發學生內心的數學意識。可眼下日本的教育情況卻令我不禁懷疑數學老師是否真的明白什麽是數學。只有真正弄清數的概念，才能理解和掌握數學。幼兒在成長過程中，也是先知曉數，再意識到時空和自然的。儘管我也不能解釋清楚什麽是數學，但我心中毫無疑問地種下了數的種子，並確定這顆種子並非是自然與天賦的饋贈。
希望通過人的自然成長去理解數學的方法是行不通的。大部分人並不清楚黑板上的圖表和算式並非自我，而是與自我對立的自然物。老師在授課中也應盡量減少使用彩碳粉筆和圖片等有顏色的教具，因為顏色會刺激兒童的感知，引起他們情緒上的大幅波動。真正的教育不是讓兒童坐在書桌前看書或反覆練習，而是讓兒童在散步的過程中萌發探索的意識與熱情，進而再去學習。從古至今，大數學家無一例外採用的都是這樣的學習方式。
當依賴黑板、鉛筆和草紙變成習慣，人只能通過計算去驗證正確性。放棄計算正如黑夜裡被奪去了手中的燈籠，不光找不到走出黑夜的路，眼前的世界也變得更加漆黑。他們不知道白晝的存在，自然辨別不出自己身處黑夜之境。
真正的數學不是眼中看到的黑板上的文字，而是用自己的認知去描述心中的物象。這可以稱為“君子的數學”。用這種方式去學習數學，才能棲居於白晝的光明之中。當自己能夠真正理解自己的想法時，即便不去計算，也能憑借直觀去理解。
計算的優勢在於事後可以去驗證，在這一點上，筆算又強過珠算。不過，用自己的認知去描述心中的物象，會容易粗心而導致錯誤，即careless miss。因此，計算在杜絕錯誤方面可以說具有絕對的優勢。我的論文中常有這種粗心之錯，以致我常常不得不專程再去送修正稿。其實，如果論文思路本質上沒有錯誤，即便有一些粗心錯誤，也不會有大問題。粗心之錯通過計算驗證即可找出。可若具備計算能力的人沒有思考能力，那他也只能驗證已知，無法推演未知。
數學教育的目的絕不是訓練學生的計算能力，而是要推開學生緊閉的心門，讓外界清爽的風滋潤他們的心田。數學教育的好壞，與兒童情緒中心能否接觸到自然的純粹直觀密切相關。所以計算速度快慢並不是什麽問題，因為我們要培養的不是計算機器。
學習數學應秉承“想清看明再動手，仔細調查相信結果”的方法。遇到問題時做到提筆前深思熟慮，提筆後一氣呵成。只要開了頭就務必速戰速決，切忌拖泥帶水。沒思考就著急提筆作答，最後也佔不了任何優勢。“想清看明再動手”正是數學中倡導的思維模式，“相信結果”是呼籲不要拘泥形式。數學沒有固定模式，不可能按部就班地得出結論。只要心懷事必有果的信念，並為之努力鑽研，又何須拘泥於形式而導致裹足不前呢？倘若換個方法就令人心生退意止步不前，那麽這個人只是依附在某種固定形式上的存在而已。這正是學習者身處的茫茫黑夜。
《數學女孩》系列以小說的形式展開，重點描述一群年輕人探尋數學中的美。內容由淺入深，數學講解部分十分精妙，被稱為“絕讚的數學科普書”。目前共出四本，每本書一氣呵成，非常適合對數學和算法感興趣的初高中生以及成人閱讀。
第一本內容涉及數列和數學模型、斐波那契數列、卷積、調和數、泰勒展開、巴塞爾問題、分拆數等。《數學女孩2：費馬大定理》每一章針對不同議題進行解說，再於最後一章切入正題——費馬大定理。作者巧妙地以每一章的概念作為拚圖，拚出被稱為“世紀謎題”的費馬大定理的大概證明。《數學女孩3：哥德爾不完備定理》採用同樣的巧思，將每一章的概念作為拚圖，拚出與塔斯基的形式語言的真理論、圖靈機和判定問題一道被譽為“現代邏輯科學在哲學方面的三大成果”的哥德爾不完備定理的大概證明。
最新出版的《數學女孩4：隨機算法》以“隨機算法”為主題，從純粹的數學和計算機程序設計兩個角度對隨機算法進行了細致的講解。內容涉及排列組合、概率、期望、線性法則、矩陣、順序查找算法、二分查找算法、冒泡排序算法和快速排序算法等。
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