單因素分析，到底有沒有必要做？

上一篇文章通過一個例子說明，不少人經常用到「先做單因素分析，然後把單因素分析中有統計學意義的變數納入多因素分析」，這種思路在有些情況下未必可靠。

其實這裡關鍵的問題就是：到底有沒有必要做單因素分析？如果做單因素分析，是不是隻把單因素分析中有意義的變數納入多因素分析，而沒有統計學意義的變數就不用納入多因素分析了？

這個問題其實沒有完全統一的答案，不同的統計學家也有自己的想法和觀點，所以本文所提到的觀點，僅是個人見解，有不同意本文觀點的，純屬正常。

我們先把上一篇文章留下的疑問解釋一下，其實這個問題也有不少人問過我，說：有沒有可能單因素分析沒有統計學意義，而多因素分析變得有統計學意義了。我的回答是：有可能。上一篇文章就是這種情況。

那麼，為什麼會出現這種情況？我們來仔細分析一下。

正常情況下，lx變數在單因素和多因素分析中結果差別這麼大，通常都是跟其它變數的影響有關係。所以，我們從4個自變數的相關性入手來看。

如果看一下4個自變數的相關性，你會發現，其實a、b、c這3個變數對lx的影響都不大，相關係數都為-0.1左右（這算不上很大的相關）。然而如果仔細觀察，你會發現另一個有意思的現象：a、b、c這3個變數與lx變數的相關都是負的，相關係數都為負數。

這就能說明一定問題了。儘管a、b、c三個變數每一個對lx變數的影響都不大，然而3個都一起影響，那就有可能產生一定的作用了。

說的通俗一點，由於a、b、c這3個變數對lx變數的影響都是負的，而a、b、c與y的關係又都是正的，這就是說，單因素分析中，當分析lx與y的關係的時候，其實a、b、c這3個變數都扯了二者關係的後腿。

用大家熟悉的一部經典美劇來說明這個意思。我想大家可能都看過《friends》（最經典的美劇，沒有之一），其中第三季第9集中，6個人組隊玩球，最後3個男生一組，三個女生一組。Joey搶到球往前跑的時候，Rachel先跑過去抱住Joey的脖子，以阻止Joey往前跑，這就是扯後腿。

然而三個女生很快發現，僅靠一名女生扯後腿的力量有限，Joey仍在繼續跑，所以Monica和Phoebe繼續各自拽住Rachel的腿往後拉，這時候Joey的速度就明顯慢了。也就是說，三個女生，每個人往後拉Joey的力量都不大，然而三個一起就大多了。

本例的解釋其實跟這個是一個意思。在本例中，a、b、c這3個變數每個對lx變數的扯後腿的作用都不是很大（相關係數都不大），然而三個同時對lx變數有負相關，合起來就有影響了。

所以，當我們看一下偏相關係數（也就是校正了a、b、c這3個變數後，lx變數與y的純相關），就會發現lx與y的相關性（相關係數為0.3511）明顯高於一開始二者的關係（相關係數為0.1912）。

同樣，如果做回歸分析，單因素分析中，lx變數與y的關係如下圖所示。

而校正了a、b、c這3個變數的多因素分析中，lx變數與y的關係則變成了下面的樣子。可以看出，斜率更大了。

當然，這只是本例的特例，實際中未必所有數據都是這樣。所以我一般喜歡說「具體問題具體分析」，不是故弄玄虛，而是真的如此。每個數據都不一樣，沒有辦法說一個統一的、完全標準的分析過程。

也許在有的數據中，「先做單因素分析，然後把單因素分析中有統計學意義的變數納入多因素分析」，這種思路並沒有問題；但在有的數據中，可能就有問題。

那麼什麼情況下有可能會出現：「單因素分析沒有統計學意義，而多因素分析中有統計學意義」這種現象？

其實本例已經給了一個很好的答案，如果其它變數（如a、b、c）與研究變數（如lx）之間是負向關係，而研究變數（如lx）與因變數（如y）之間是正向關係，且其它變數（如a、b、c）與因變數（如y）之間也是正向關係。這時候就很容易出現「單因素分析沒有統計學意義，而多因素分析中有統計學意義」。

實際中到底要不要「先做單因素分析，然後把單因素分析中有統計學意義的變數納入多因素分析」這種思路？我個人的觀點是比較明確的：決不能照搬這種思路。有時會讓你錯失發現數據真相的機會。

其實數據分析本來就不是很容易的，有時我給別人說完一些分析思路，他們會很疑惑：這麼麻煩啊？也許，在很多非統計學專業的人的眼中，統計分析無非就是跑跑軟體，出個結果。現實中確實也有很多人就是這麼做的。然而，真正的統計學家不會這麼做，有些複雜數據有時都得花費十天半月（甚至幾個月都有可能）來考慮。

單因素分析到底有沒有必要做？

看了前面的例子，有的人的世界觀已經徹底崩塌了：原來說好的「先做單因素，單因素分析中有統計學意義的變數再納入多因素分析」這種思路，怎麼就不靈了。我還能相信什麼？到底要不要做單因素分析了？

首先聲明：本文僅代表作者個人觀點，有不同意見純屬正常。

我個人的建議是：單因素分析要做，但是，不能死板地根據單因素分析中P值小於0.1（或0.2、0.3等）而決定把變數納入多因素分析。是否把一個變數納入多因素分析，單因素分析的P值只是一個提示，還需要考慮其它因素。

下面逐一解釋這句話什麼意思。

首先，要做單因素分析。但目的絕不是簡單地為了初篩變數，我認為目的至少有二：

第一，初步探索自變數與因變數的關係，因為不管是線性回歸還是logistic回歸、Poisson回歸等，其本質都是線性模型。不管你的自變數與因變數（或因變數的變換）是不是線性，分析結果只會給出有沒有線性關係。所以必須保證自變數與因變數（或因變數的變換）之間是線性的，而這一點就可以通過單因素分析來實現。單因素分析中可以很方便地顯示每個自變數與因變數（或因變數的變換）之間的大致關係。

雖然很多人都認為圖形過於主觀，但我個人還是非常喜歡圖示的。圖形可以告訴我們很多資訊，不管是散點圖還是其它圖形，既直觀又方便，比單純的P值要好。

第二，如果自變數太多（相對例數而言），單因素分析確實也可以做一些初篩，否則因素太多時，一股腦把所有變數都納入模型執行多因素分析未必現實。比如你有30個變數，但例數只有60例，無論如何不可能直接把30個變數一起納入，否則每個變數的標準誤都會太大，每個變數都不會有統計學意義。

有的人顧問我的時候會說：我這些變數都很重要，都不能刪，都想保留在模型中。但是，如果你的例數不足夠，你的變數再重要，也無法納入模型。我見過太多的理想與現實矛盾的情況，你想的很好，但是例數不夠，必須讓你做出讓步。所以有時單因素分析可以做一些初篩。

但是，有一點一定要注意：單因素分析的初篩決不能只看P值。不是說P值大於0.1（或0.2、0.3等）就直接捨棄了，而應該結合其參數估計值、標準誤以及專業的重要性，綜合來考慮。另外，還需要觀察研究變數與其他變數之間的關係，就像上文例子，如果其它變數與研究變數的關係很不幸的都在一個方向上，那就得仔細看了。這種情況下，什麼事情都有可能發生，一定要謹慎。

總之，因素分析是一件細活，有的人說，我有40多個因素，難道我每個因素都得看一下是否跟因變數（或因變數的變換）是否線性關係嗎？這多麻煩啊！我的回答是：是不是要看，是不是要做的這麼細，取決於你自己。我把如何分析的思路告訴你，但是你是不是按這種思路來做，只能你自己決定。

你當然可以不這麼做，可以把所有變數一股腦兒放到軟體中跑出結果，也可以按「單因素分析P<0.1的變數再納入多因素分析，在軟體中跑出結果」，這都可以出結果。然而結果是否可靠，也許只有天知道。統計軟體是一個雙刃劍，你無論把什麼數據扔進去，它都會給出你一個結果，但它不會告訴你的結果是否準確可靠。

很多人來顧問我問題的時候，往往都希望得到一個很直接的答案，比如：你就告訴我這個變數有沒有意義就行了。可惜的是，往往數據沒有這麼聽話，不一定是像你想像的那麼簡單。就像患者顧問醫生一樣，患者想聽到一個最直接的答案：你就告訴我這是個什麼病（或者，你就告訴我這個病能不能治好）。同樣可惜的是，往往醫生也無法做出這個直接的回答。其實這是一回事。

所以，如果你覺得患者問你「你直接告訴我這是什麼病」這樣的問題讓你無法回答，那你也應該體會到，如果你問一名統計學家「你就告訴我這個變數有沒有意義」這樣的問題，同樣也讓統計學家難以回答。你覺得確診一種疾病很難，同樣，統計學家分析你的數據也不是這麼容易。

對於一份數據的分析，如果你實在拿不準，我的建議是，直接請教統計學家。畢竟他們經驗更為豐富一些，就像一般人也喜歡掛老專家的號一個道理，因為他們經驗多。

我也曾幫助不少人解決過一些問題，比如，他們自己確實分析不出來，但是可能我從其它角度重新分析，或者換種思路重新分析，結果會跟他們原來做的不同。這讓他們很歡欣鼓舞，也覺得好像統計學很神奇，本來沒有意義的，做出有意義結果了。

但其實並非如此，統計學不能無中生有，如果一個變數真的沒有意義，那統計學無論怎麼折騰，它最終也還是沒有意義。為什麼你做的沒有意義，而我做的就有意義。這只是因為原來你的思路有問題，我重新換了思路而已，所以發現了本來你沒有發現的結果。僅此而已。

所以，也不要對統計學期望太高，也不要覺得統計學無用。統計學只是幫你更加客觀地看待數據，更加理智地發現規律，更加有效地利用數據，讓你離真實結果更接近。

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