周小川：用數學規劃思維看經濟體系

　　文/新浪財經意見領袖專欄（微信公眾號kopleader）專欄作家 周小川

　　經濟主體行為大多可以理解並表達成數學規劃中的最優化問題。數據的收集、運用及其概念，都離不開經濟社會統計及統計模型，經濟規律的發現和參數化離不開計量模型，以數學模型為基礎的經濟分析呈現為一片又深又藍的知識與技能的海洋。

　　數學規劃思維在經濟分析中具有重要作用。

　　經濟主體行為大多可以理解並表達成數學規劃中的最優化問題。微觀主體的行為往往是謀求把某件事做到最好，或者說是目標函數最大化或最小化。經濟學中最典型的假設是，市場經濟裡的企業和個人都是謀求自身利益的，勞動者謀求自身收入和消費效用最大化，同時在勞動和休閑之間也有優化選擇。企業行為最典型的描述是追求利潤最大化，大多數常規企業都是這個目標。對一個政府而言，往往把GDP作為經濟工作的主要目標，中國現在強調不能唯GDP論，可考慮修訂後的GDP或含有GDP又比GDP更綜合的目標函數。總體而言，經濟主體就是要追求某種最大化。如果用數學規劃來考慮這些問題，會有很多優勢，有些問題能看得更透徹，並可以從更精確的角度來分析。

　　經濟學裡用的很多語言都是來自數學規劃。回顧20世紀八九十年代中國的經濟體制討論，最重要的進展是黨的十四大提出的“我國經濟體制改革的目標是建立社會主義市場經濟體制”，而對社會主義市場經濟的主要經濟學解釋就是資源配置優化，用資源配置來論證為什麽要搞社會主義市場經濟。隨後，黨的十四屆三中全會提出了“充分利用國際國內兩個市場、兩種資源”，也是資源優化配置。回顧四十年的經濟體制改革歷程，早期較多是從直覺出發搞農村聯產承包責任製，而更深度的思維則逐步演化到資源優化配置。從最優化模型角度看，資源優化配置和承包責任製等激勵機制之間其實是一種對偶關係，而對偶問題其實也就是線性規劃的拉格朗日乘子問題。

　　資源配置的約束條件與影子價格相對應。若要實現資源優化配置，就要把價格類激勵機制搞對，這兩者互為影子。一個國家資源配置的效率與優化程度是會帶來重大區別的，最主要的資源是指勞動力、資本等生產要素，廣義的生產要素還包括技術、管理、外匯等。資源配置的約束是需求應小於等於供給，當然供給不足也可以另外想辦法。這些約束可以是緊約束，也可以是鬆約束。在數學規劃中，若約束條件是鬆的，則其影子價格就是零。不少經濟分析報告裡常說某個約束條件是鬆弛的（Slack），就是指雖然道理上有約束條件但卻是鬆的，影子價格為零。如果是緊的話，其影子價格就不會是零，這是數學規劃裡給出的規律。

　　數學規劃的基本概念

　　數學規劃是一種尋找最優化的方法。典型的線性規劃基於目標函數和約束條件，尋求目標函數的最大化或最小化的極值。約束條件又可分為等式約束和不等式約束。目標函數與約束條件的表達分為線性和非線性。比如在巨集觀經濟模型中，等式約束可以是生產法GDP或支出法GDP等基本經濟規律的恆等式；比較典型的不等式約束是勞動力、資本等生產要素的供求關係。

　　一是線性規劃，目標函數和約束條件都是線性的，好處是相對簡單，有現成可用的電腦算法進行大規劃線性規劃求解。但現實中一些經濟行為可能是非線性的，因此可能出現對現實過分簡化的情形。

　　二是非線性規劃，計算複雜性大幅提高，且有可能不存在最優解，還要看整個約束條件集合是不是凸集。如果是凸集，那麽就存在一種算法可以得出最優解；如果不是凸集，就可能不存在惟一最優解且不一定能有最優解算法。也就是說，不是沿著向上的方向走，就能找到最高點。非線性規劃有兩種簡化處理方法：一種是對數線性化。一些經濟問題由於是用指數的形式來描述的，雖然目標函數和約束條件不是線性的，但可以通過對數化表達實現線性，然後按照線性規劃的方法去算。另一種是段線性化。整個問題可能是非線性的，但如果對其作分段且每一段都可以按線性方式來描述，整合起來後，也可以按線性規劃的算法進行運算。

　　三是動態規劃。在理論和算法上，動態規劃思維在處理長遠問題時，可尋求整體過程最優，不見得每個階段是最優。當前動態規劃在經濟模型中能夠求得優化解的情形還非常有限，動態規劃概念有兩種用法：一種是將整體過程充分簡化，找可用的算法去求解；還有一種是不存在直接求解的算法，但可以通過仿真模擬的方法對動態過程及其結果進行比較分析。

　　數學規劃在經濟分析中的具體問題

　　第一個具體問題就是目標函數。

　　目標函數非常重要，只有清晰可度量的目標函數，才能評判事情乾得好不好，同時也能分析出改變任何一個約束條件或行為，對目標函數的成本是多少。例如，發展經濟過程中要考慮環境保護，一項特定的環保措施要付出多大的GDP當期代價；再如貿易摩擦又會產生多大的GDP成本。

　　現實中的目標函數往往是多目標的。在目標函數表達中，單目標最好理解和計量。一些國家的央行曾強調以通脹為其工作的單一目標，但自2008年危機以來，全球央行基本上都認識到央行不能不管經濟增長，也不能不管金融穩定。此外，金融機構出了風險，還要考慮救不救的問題。近期，美國又有研究挑戰保爾森（Henry Paulson ）、伯南克（Ben S． Bernanke ），為什麽在本輪危機初期不救雷曼。而後者反覆說過，不救雷曼是因為缺乏抵押品和道德風險平衡的考慮，之前已經救了貝爾斯登、房地美、房利美，馬上又要救AIG，但不能所有的金融機構都救，要避免道德風險，就只能犧牲規模相對小一些的金融機構，也就是雷曼。當時也沒預測到雷曼倒閉後的震動會有多大。可見，單目標往往是對現實工作目標的過分簡化。

　　多目標如果是線性可加的，技術上會類似於單目標。比如GDP，看似單目標，其實包含多種商品貨物和服務，且不論從生產方還是支出方來看，都是以價格加權而線性可加，所以不要簡單認為GDP是單目標。但當人們關注一些社會、環境、道德等目標分量時，多目標是否能線性可加就會成為顯著的挑戰。

　　機構改革中的目標體系。圖盧茲學派的拉豐（Jean Jacques Laffont ）說過，規製包括目標、度量、激勵和資源，目標在最前面，所以首先要弄清楚目標是什麽。比如證監會的目標，究竟是維護股指還是保持投融資的公正性，以及保證交易的公平性。如果目標不清楚的話，就沒法度量這個機構做得好還是不好；如果度量不清晰，激勵也往往會扭曲。在2017年的全國金融工作會議中，明確要成立金融穩定委員會，中間就用到了目標、度量、激勵以及資源這個框架思路。很多人不見得體會到這些概念和推理實際上來自數學規劃和機制分析（Institutional Analysis ）的框架。

　　多目標之間可能存在衝突。多目標體系在寫成目標函數表達式時，可以發現有些目標在優化方向上是一致的，另一些目標可能是相互衝突的，這能夠幫助理解兩難或者多難問題。過去，中國政府曾給貨幣政策指明有四大目標，分別是低通貨膨脹、經濟增長、促進就業和國際收支大體平衡，後來又加上了推動改革開放和保持金融穩定。其中，經濟增長和促進就業的重疊度是相當高的，有衝突的目標就是經濟增長和低通脹，但並不完全衝突。一旦寫出目標函數，就可能發現衝突的目標不能夠同時達到。“蒙代爾三角”表明，貨幣政策獨立性、匯率穩定和資本自由流動三個目標不能同時達到，因為這三個目標是衝突的。當然，“蒙代爾三角”對現實的描述相對簡化，實踐中的匯率穩定和資本項目可兌換的定位可能並不那麽理想化和單純，但這個思路對決策者很有好處，它告訴決策者對於存在衝突的目標要有所取捨。應當看到，現實中存在不少衝突目標的事，多數情況下是兩難決策，蒙代爾是三取二，可能還有四取三、五取四的情況，可以用數學規劃及目標函數來理解。

　　多層次目標協調機制。線性規劃可以運用拉格朗日函數，非線性規劃可以運用庫恩—塔克（Kuhn-Tucker）定理，把一個模型實現最優化所必須達到的條件組列出來，必須達到這組條件才能最優化，而條件組中涉及了拉格朗日乘子，即影子價格。也可以借助影子價格寫出對偶模型，把拉格朗日條件改寫成最優化目標，把目標寫成約束條件組。長期以來，經濟學的三部門模型，即政府追求 GDP最大化、企業追求利潤最大化、消費者（家庭）追求消費效用最大化，三者存在不同的目標。根據拉格朗日函數和庫恩—塔克定理，意味著每個主體都有其自己單獨的目標函數，但以分布式供求關係的資訊構架和分散決策為代表的市場經濟體制，能完全協調這三者不同的目標而融為一體。當然數學模型總有簡化，現實描述則不能太簡化，儘管如此，用數學規劃方法仍可以找出普遍規律。數學規劃加上拉格朗日函數、庫恩-塔克定理的運用，可以發現多目標協調機制的數學解釋非常清晰，且可以運用於實踐。

　　數據規劃在經濟分析中的第二個具體問題是約束條件。

　　約束條件在大的分類上有等式約束和不等式約束。等式約束可體現為經濟規律中的恆等式；不等式約束典型的例子就是資源配置。有人說，生產法GDP可能導致盲目擴大生產、產能過剩等問題，但如果把巨集觀經濟模型翻譯成數學規劃模型，將生產法GDP作為目標函數、支出法GDP作為等式約束條件，也就是要求投資、消費和政府支出加上淨出口，最後等於生產法所生產出來的商品，這意味著在尋求生產法GDP最大化時，不會發生生產出商品賣不出去的情況。同樣，也可在等式約束裡放收入法GDP。總的來說，數學規劃在生產法、支出法、收入法GDP中任選一個當目標，其他兩個做等式約束條件，最終可得出三種GDP在市場經濟體制上可以不互相衝突。

　　數據規劃在經濟分析中的第三個具體問題是拉格朗日乘子和拉格朗日函數。

　　拉格朗日問題可以衍生出對偶問題。對偶問題有兩個方面：一方面是對偶模型，線性規劃中的最大化必然有一個最小化的對偶模型，比如說企業利潤最大化，對偶的影子就是成本最小化，所以兩個模型之間可以相互翻譯、互為影子。另一方面是等式約束和不等式條件約束對應的影子價格，比如在生產要素資源配置優化過程中，某一項要素條件的變化，對於實現目標函數都有一個成本，按經濟學講就是影子價格。因此，約束條件對應了用影子價格衡量的代價。企業多雇一個人，給他的報酬取決於多雇一個人對目標函數實現的邊際增量（是邊際而不是平均的）。經濟學中邊際的概念，可以更準確地描述為數學規劃測度的影子價格問題。影子價格恰好是線性規劃裡的拉格朗日乘子。這個思維對經濟分析是很有益處的。

　　拉格朗日函數可以將不同層次的數學規劃聯繫起來。數學規劃還有一個有意思的問題是大數學規劃模型套小數學規劃模型，小數學規劃模型還可套更小的數學規劃模型，用拉格朗日函數將數學規劃問題轉為函數形式就當作約束條件來用，對不同變量求導推導出一組優化條件，經濟達到這組條件就實現優化配置。要實現優化配置，就要用影子價格做激勵機制。頂層數學規劃的條件組一部分是由次一層數學規劃的拉格朗日函數轉化成的。以消費者行為為例，消費者效用最大化是較低層的數學規劃，可以優化出消費者效用最大化的行為，而消費者行為的約束條件，即消費者支出小於收入又是從另一個涉及勞動與休閑、儲蓄與花銷行為的優化模型推出來的，這樣就把大的問題和小的行為問題聯繫起來了。2008年金融危機以後，出現了大量對巨集觀經濟模型的批評，認為缺乏金融機構的行為，偏離現實。過去金融機構行為都被簡化掉了，認為在制度條件下有存款就會都轉化成貸款，不用考慮金融機構的行為，但危機表明，必須關注恐慌、惜貸等金融機構行為，否則經濟分析就會出漏洞。這樣，就有必要先構建金融機構自身行為的優化模型，通過拉格朗日函數及其關聯，放到頂層的巨集觀模型中去。

　　總的來看，數學上還沒有真正解決動態規劃問題，因此動態規劃處理複雜問題相對更困難，可以更多依靠模擬（Stimulation）來作比較分析，就像羅馬俱樂部把世界幾十年後環境資源無法承載的模擬結果展示出來。通過數學建模，能夠發現很多問題，比如目標衝突、不可能性問題、對偶問題等，可以開拓思維，有很多研究題目可以繼續深入。此外，理解和運用數學規劃也必然會聯繫到其他一些數學方法和模型。

　　數據的收集、運用及其概念，都離不開經濟社會統計及統計模型，經濟規律的發現和參數化離不開計量模型；經濟行為的描述越來越需要博弈論。搞好巨集觀經濟工作常提到調控，涉及控制系統理論和資訊論。以數學模型為基礎的經濟分析呈現為一片又深又藍的知識與技能的海洋。

　　本文為周小川新著《數學規劃與經濟分析》的總序言，據於2018年7月27日在“用數學規劃看經濟體系”講座上的講話整理。

　　(本文作者介紹：原中國人民銀行行長)