考研數學歷年必考知識點：三個微分中值定理

萬學海文

每年考研數學必有一道證明題，分值在10分左右，其中百分之九十涉及到的是微分中值定理及其應用。而微分中值定理及其應用最難的就是三個微分中值定理：羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。它們是考研數學的重難點，現分別從涉及的知識點、考查方式、方法選擇、真題鏈接等四個方面進行分析。

一、涉及的知識點及考查形式

可涉及微分中值定理及其應用的知識點有，微分中值定理，洛必達法則，函數單調性的判別，函數的極值，函數圖形的凹凸性、轉捩點及漸近線，函數圖形的描繪，函數的最大值與最小值，弧微分（數一、數二要求），曲率的概念（數一、數二要求），曲率圓與曲率半徑（數一、數二要求）。

微分中值定理以間接考查或與其他知識點綜合出題的比重很大，也可以直接出題，所以考查形式有多種。如利用導數的幾何意義考查函數的特性，討論導數零點存在性或方程根個數問題，不等式的證明，證明含中值的等式，求極限等。

二、方法選擇

題目考查微分中值定理，那麽選擇哪一中值定理成為解題的關鍵。

針對題目的特點，可根據如下情況選擇對應的微分中值定理：如果結論不包含端點，優先考慮羅爾定理；如果結論中包含端點，則考慮拉格朗日中值定理或柯西定理。那麽選擇拉式還是柯西定理，需要對結論做進一步的處理，化為定理的標準形式。如第一個標準，左邊是隻含端點，右邊隻含中值；第二個標準，左邊進一步處理，分子分母減號，一側隻含右端點，一側隻含左端點。整理後，如果分母是端點相減，則選擇拉格朗日定理；否則，選擇柯西定理。

四、小結

三個微分中值定理（條件與結論）的理解及其區別是複習的要點，而方法的選擇是解題的關鍵。三個微分中值定理（條件與結論）的理解及其區別理解透了，才能正確使用方法進行求解。知識點的理解一定要結合一定量的習題才能真正掌握知識點，並應用於考研。