黎曼猜想 100萬美元獎金的難題

1900年，大數學家希爾伯特（Hilbert）在巴黎舉辦的第二屆國際數學家大會上提出了23個數學問題，它為整個二十世紀的數學發展指明了方向。時過境遷，值千禧年之際，美國克雷研究所提出了7個世紀性的數學難題，並慷慨地為每個問題設定了100萬美元的獎金。

德國著名數學家希爾伯特（David Hilbert，1862~1943）

當我們回顧這次跨越時空的呼應時，卻發現有一個共同的問題，並且已經伴隨著數學家們走過了滄桑百年的歷程，它就是大名鼎鼎的黎曼猜想。

黎曼猜想究竟有何神奇之處，竟讓如此多的數學家為此癡迷和魂牽夢繞？在它那裡，又藏著怎樣驚世駭俗的秘密？破譯這樣一個難題，真的會給數學和世界帶來激動人心的改變嗎？

質數探索

在自然數序列中，質數就是那些只能被1和自身整除的整數，比如2，3，5，7，11等等都是質數。4，6，8，9等等都不是質數。由於每個自然數都可以唯一地分解成有限個質數的乘積，因此在某種程度上，質數構成了自然數體系的基石，就好比原子是物質世界的基礎一樣。

人們對質數的興趣可以追溯到古希臘時期，彼時歐幾裡得用反證法證明了自然數中存在著無窮多個質數，但是對質數的分布規律卻毫無頭緒。隨著研究的深入，人們愈發對行蹤詭異的質數感到費解。這些特立獨行的質數，在自然數的大海裡不時拋頭露面後，給千辛萬苦抵達這裡的人們留下驚歎後，又再次揚長而去。

1737年，瑞士的天才數學家歐拉（Euler）發表了歐拉乘積公式。在這個公式中，如鬼魅隨性的質數不再肆意妄為，終於向人們展示出了其循規蹈矩的一面。

沿著歐拉開辟的這一戰場，數學王子高斯（Gauss）和另一位數學大師勒讓德（Legendre）深入研究了質數的分布規律，終於各自獨立提出了石破天驚的質數定理。這一定理給出了質數在整個自然數中的大致分布概率，且和實際計算符合度很高。在和人們玩捉迷藏遊戲兩千多年後，質數終於露出了其漂亮的狐狸尾巴。

橫空出世

雖然符合人們的期待，質數定理所預測的分布規律和實際情況仍然有偏差，且偏差情況時大時小，這一現象引起了黎曼的注意。

其時，年僅33歲的黎曼（Riemann）當選為德國柏林科學院通信院士。出於對柏林科學院所授予的崇高榮譽的回報，同時為了表達自己的感激之情，他將一篇論文獻給了柏林科學院，論文的題目就是《論小於已知數的質數的個數》。在這篇文章裡，黎曼闡述了質數的精確分布規律。

沒有人能預料到，這篇短短8頁的論文，蘊含著一代數學大師高屋建瓴的視野和智慧，以至今日，人們仍然為隱匿在其中的奧秘而苦苦思索。

黎曼Zeta函數

黎曼在文章裡定義了一個函數，它被後世稱為黎曼Zeta函數，Zeta函數是關於s的函數，其具體的定義就是自然數n的負s次方，對n從1到無窮求和。因此，黎曼Zeta函數就是一個無窮級數的求和。然而，遺憾的是，當且僅當複數s的實部大於1時，這個無窮級數的求和才能收斂（收斂在這裡指級數的加和總數小於無窮）。

為了研究Zeta函數的性質，黎曼通過圍道積分的方式對該函數做了一個解析延拓，將s存在的太空拓展為複數平面。

研究函數的重要性質之一就是對其零點有深刻的認識。零點就是那些使得函數的取值為零的數值集合。比如一元二次方程一般有兩個零點，並且有相應的求根公式給出零點的具體表達式。

黎曼對解析延拓後的Zeta函數證明了其具有兩類零點。其中一類是某個三角sin函數的周期零點，這被稱為平凡零點；另一類是Zeta函數自身的零點，被稱為非平凡零點。針對非平凡零點，黎曼提出了三個命題。

第一個命題，黎曼指出了非平凡零點的個數，且十分肯定其分布在實部大於0但是小於1的帶狀區域上。

第二個命題，黎曼提出所有非平凡零點都幾乎全部位於實部等於1/2的直線上。

第三個命題，黎曼用十分謹慎的語氣寫到：很可能所有非平凡零點都全部位於實部等於1/2的直線上。這條線，從此被稱為臨界線。而最後這個命題，就是讓後世數學家如癡如醉且寢食難安的黎曼猜想。

有人曾經問希爾伯特，如果500年後能重回人間，他最希望了解的事情是什麽？希爾伯特回答說：我想知道，黎曼猜想解決了沒有。美國數學家蒙哥馬利（Montgomery）曾經也表示，如果有魔鬼答應讓數學家們用自己的靈魂來換取一個數學命題的證明，多數數學家想要換取的將會是黎曼猜想的證明。黎曼猜想，儼然就是真理的宇宙裡，數學家心目中那顆最璀璨的明星。

黎曼的三個命題

短短八頁的論文裡，黎曼給後人留下了卓絕非凡的智慧和思想，也為後世留下了魅力無窮的謎團。文章裡的證明因為篇幅限制而多被省略，吝惜筆墨的黎曼卻讓身後數百年的數學大家費盡心思、相形見絀。這篇格局巨集大、視野開闊的論文站在了時代的最前沿，其高瞻遠矚的目光和魄力直到今日仍然指引著主流數學界的方向。

在第一個命題的某一步證明裡，黎曼用輕鬆的語氣寫道：這是不言而喻的普適性的結果。但就是這樣一個似乎不值一提的結果，卻花費了後人40年的時間苦苦探索。芬蘭數學家梅林因為在這一小步上的貢獻而名垂青史。此後，在黎曼眼中一筆帶過的第一命題最終才由德國數學家蒙戈爾特（Mangoldt）在46年後給出完整的證明。

針對第二命題，黎曼用了相當肯定的語氣指出其正確性。遺憾的是，他沒有給出任何證明的線索，只是在與朋友的一封通信裡提及：命題的證明還沒有簡化到可以發表的程度。然而黎曼畢竟高估了讀者的能力，第二個命題猶如一座巍峨的大山壓在了後世數學家的心中，直到今天也踹不過氣來。一個半世紀過去了，人們還在為尋找第二命題的證明而陷入深思，似乎絲毫找不到破解它的希望。

更讓人們絕望的是，黎曼在論及第三命題時，破天荒地沒有使用肯定的語氣，而是謹慎地說道：這很有可能是正確的結論。作為複變函數功彪千古的大師，黎曼此時也失去了信心，只能借助試探的口吻表達自己的觀點。也正是這個讓黎曼猶豫而止步的命題，終成了數學史上最為壯美險峻的奇峰。

有人曾經質疑黎曼是否真的證明了第一和第二命題，他隨意寫下的結論僅僅是重複法國數學家費馬（Fermat）曾經的覆轍：把錯誤的想法當成了真理。

1637年，愛好數學的大法官費馬在一本書的頁邊寫下了他對一個問題的看法：他發現了一個簡潔的證明，但是由於紙張太小無法寫下來。這就是被後世稱為費馬猜想的問題，其完整的證明直到358年後的1995年才由英國數學家懷爾斯借助最艱深的現代工具所完成。

但是，人們很快打消了疑慮。從黎曼遺留下來的部分草稿來看，他的數學思想和功力已經遠遠超越同時代的數學家。即使是幾十年後被陸續發現的手稿中體現出來的能力水準，也讓當時的數學家難以望其項背。因此，人們有理由相信，這是一個偉大數學家的自信和坦然。

儘管黎曼猜想成立與否不得而知，數學家們還是傾向於它的正確性。一個半世紀以來，人們在假設黎曼猜想成立的情況下，以它作為基石，已經建立了一千多條定理，並且打造了無比輝煌的數論大廈。然而一旦黎曼猜想找到反例被證偽，這些精美的大樓就會如空中樓閣一樣曇花一現，最終崩塌，給數論帶來災難性的結果。

質數分布規律

質數作為一類特殊的整數，任性而古怪，它們悄悄地隱藏在浩浩蕩蕩的自然數列裡，以自己獨有的奔放奏出魅力四射的音符。這曲神秘的質數音律，不知讓多少追尋真理呼喚的人為之陶醉，為之傾注畢生精力，只為找到質數起舞的腳步和節拍。

遺憾的是，驕傲的質數們都是孤獨的行者，在數千年的時光裡靜靜地等待著能讀懂它的真命天子。從歐拉（Euler）開始，人們終於得以在無邊無際的整數世界裡一瞥質數的浮光掠影。

黎曼（Riemann）一舉揭示了質數最深處的秘密，優雅地給出了質數分布的精確表達式。人們第一次能夠近距離窺視質數們在自然界跳舞的規律，是那樣的豪放與不羈，平靜時如溫柔的月光灑在無波的大海，奔騰時又如滔天巨浪傾瀉在一葉孤舟，讓人愛恨交織、目馳神移。

然而，質數並不是完全隨性而為，它的表現始終臣服在黎曼Zeta函數零點的分布規律上。因此，破譯黎曼猜想就等於完全確定了質數跳舞的規律和秩序，無疑將開啟數論中最激動人心的篇章。也因此，黎曼猜想成了無數人心目中夢想征服的珠穆朗瑪峰。登上這座高峰的勇士，也將和歷史上最偉大的名字連接在一起，成為後人敬仰和追隨的英雄。

在黎曼的時代，質數定理雖然經由高斯（Gauss）和勒讓德（Legendre）提出，但卻是未經證實的猜想。它讓最捉摸不定的質數在陽光下現出了蹤跡。當時最傑出的數學大師也為此傾心，試圖證明質數定理。

解決質數定理

在黎曼提出的第一個命題裡，數學家很容易證明Zeta函數的零點位於實部不小於0，不大於1的帶狀區域上，但是無法排除實部等於0和1的兩條直線。令人驚喜的是，人們很快發現如果能證明黎曼眼中顯而易見的第一命題中的某一關鍵結論，則可以直接證明質數定理。

在黎曼提交論文的36年後，數學家哈達瑪（Hadamard）等人不負眾望，終於證明了該結論，也順帶解決了質數定理，從而完成了自高斯以來眾多數學大師的心願。

然而黎曼在第一命題裡所輕鬆描述的全部結論，直到46年後的1905年才由蒙戈爾特（Mangoldt）完成。

黎曼猜想的一個小小命題裡就蘊含著如此巨大的能量，自此以後，數學家把注意力都集中到了黎曼猜想的攻堅上來。

於是，1900年的巴黎，希爾伯特（Hilbert）代表數學界提出了23個影響深遠的問題，黎曼猜想作為第8個問題的一部分而被世人所知。百年輪回，時至今日，23個問題中已經有19個確定解決，還有3個部分解決。黎曼猜想依然如巍峨的奇山，矗立在人類的智力巔峰之上。

鑒於黎曼猜想的巨大難度，人們無法一步征服如此雄偉的山峰，只能在山腳和山腰尋找攀登的線索。一批數學家另辟蹊徑，不再駐足於尋求黎曼猜想的證明上，而是去計算黎曼猜想的零點。如果一旦發現某一個零點並不位於實部是0.5的直線上，這就等價於找到一個反例，從而證實黎曼猜想並不成立。

1903年，丹麥數學家第一次算出了前15個非平凡零點的具體數值。在黎曼猜想公布44年後，人們終於看到了零點的模樣。毫無意外的是，這些零點的實部全部都是0.5。

1925年，李特爾伍德（Littlewood）和哈代（Hardy）改進了計算方法，算出前138個零點，這基本達到了人類計算能力的極限。

過於龐大的計算量，讓後人放棄了繼續尋找零點的努力。而為了選擇更多的非平凡零點，人們還在黑暗中苦苦摸索。沒想到，這一次，曙光來自於黎曼的遺稿。

手稿裡的智慧遺產

隨著證明黎曼猜想的努力付諸東流，而計算零點的可能也趨於渺茫，數學家陷入了漫長的痛苦期，以至於他們終於開始懷疑黎曼猜想不過是他直覺的猜測，而並沒有實際的計算證據。

黎曼時代的數學家喜歡發表他們認為已經成熟的學術成果，而對探索中的理論諱莫如深。因此，很多數學家公開發表的成果只是他們做研究的極小一部分，許多價值連城的遠見並沒有對外公布。

這方面，高斯（Gauss）是一個典型。在1898年公布的高斯科學日記裡，人們才發現，他的很多思想和成果已經遙遙領先那個時代，但是卻因為沒有發表而讓後世的數學家走了很多彎路。

比如，橢圓函數雙周期性理論的結果直到100年後才被後人重新發現。同時，高斯也最早意識到了非歐幾何的存在。這樣的例子比比皆是。

人們只能從高斯的稿件和信件中去尋找那些依舊蒙塵卻隱匿著科學巨匠光輝的成果。

因此，在黎曼猜想面前灰頭土臉的數學家把目光投向了黎曼的手稿。遺憾的是，大部分凝聚黎曼心血和洞見的手稿在他去世後被管家付諸一炬，從此人們失去了近距離了解黎曼進行科學思考和創作的機會，也讓他卓絕非凡的智慧結晶失去了傳承。

黎曼的妻子僥幸搶救出了一小部分手稿，並把它贈送給了黎曼生前的好友戴德金。後來，她擔心手稿裡可能有黎曼與她的私人信件，又將大部分手稿索回。這些殘留的珍貴手稿，最後經由戴德金獻給了哥廷根大學圖書館。這也成了黎曼留給後人的珍貴遺產。

很多慕名前去的數學家希望從黎曼的手稿裡得到啟發，但是，這些手稿太過艱深晦澀，人們止步於此，無法讀懂黎曼在天馬行空的字裡行間所展示出的才能。一代數學大師的遺物，在為將來破譯它的人牢牢地守護著秘密。

零點計算的推進

1932年，德國數學家西格爾（Siegel）終於在歷經兩年的苦苦鑽研後，從黎曼的手稿裡找到了關鍵的證據。正是這一證據表明，黎曼對他提出的三個命題有過極其深刻的思考和計算。

西格爾在手稿裡發現了黎曼當年隨手寫下的公式，這個公式今天被稱為黎曼-西格爾公式。西格爾也因為讓黎曼的公式重現天日而最終獲得了菲爾茲獎。

有些數學家甚至認為：如果不是西格爾發現了這個公式，時至今日，它會像埋入沙漠深處的寶藏，再難被後人重新發現。西格爾寫下這個公式的那天，距離黎曼在手稿裡留下這份遺產已經過去了73年。

黎曼-西格爾公式很快發揮了其巨大的威力，基於這一公式，人們可以很輕鬆地繼續推進零點的計算。

哈代（Hardy）的學生利用西格爾公式把非平凡零點的個數計算到了1041個，人工智能之父圖靈推進到了1104個。此後的幾十年，在電腦的輔助下，人們繼續了零點計算的接力賽。

1966年，非平凡零點已經驗證到了350萬個。20年後，電腦已經能夠算出Zeta函數前15億個非平凡零點，這些零點無一例外地都滿足黎曼猜想。2004年，這一記錄達到了8500億。最新的成果是法國團隊用改進的算法，將黎曼Zeta函數的零點計算出了前10兆個，仍然沒有發現反例。

十兆個飽含著激情和努力的證據再次堅定了人們對黎曼猜想的信心。然而，黎曼Zeta函數畢竟有無窮多個零點，十兆和無窮大比起來，仍然只是滄海一粟。黎曼猜想的未來在哪裡，人們一片茫然，不得而知。與此同時，試圖證明黎曼猜想的人們也傳來了佳音。

零點的臨界線

數學家哈代（Hardy，1877年-1947年），他證明了黎曼Zeta函數的零點的臨界線，這是針對黎曼猜想的一個重大突破

英國數學家哈代首先證明Zeta函數的零點有無窮多個都位於實部是0.5的直線上。這是一個無比震驚的重大突破。在此之前，人們甚至不知道零點的個數是否有限，而哈代的結果則是直接告訴人們，零點的個數不僅是無窮的，而且還有無窮多個零點都位於這條臨界線上。但是遺憾的是，人們並不知道臨界線外是否存在非平凡零點。

隨後，挪威數學家塞爾伯格（Selberg）證明了臨界線上的零點個數佔全部非平凡零點個數的比例大於零，這意味著臨界線上的零點在全部零點的分布中舉足輕重。

進一步，美國數學家萊文森（Levinson）引入了獨特的方法，證明臨界線的零點佔全部零點的比例達到了34.74%。

基於萊文森的技巧，美國數學家康瑞（Conrey）在1989年把比例推進到了40%，這也是迄今為止得到的最好結果。

物理世界的奇遇

在理論和計算的突破猛進下，人們開始關注零點在臨界線上的分布規律。數學家蒙哥馬利（Montgomery）發現零點分布的規律竟然和孿生質數對在數軸上的分布規律類似。受此啟發，他寫下了一個關聯函數來描述這種規律。令人驚奇的是，該函數描述的理論結果和實際計算結果幾乎完美地吻合。

蒙哥馬利隱約覺得這背後隱藏著巨大的秘密，卻又百思不得其解。帶著這一疑問，他在1972年訪問了普林斯頓高等研究院。

在下午茶的階段，他偶遇了物理學家戴森（Dyson）。由於彼此研究領域的巨大差異，兩人只是禮貌地寒暄了一下。戴森隨口問問蒙哥馬利研究的課題。他將心中的困惑全盤托出，這差點驚掉了戴森的下巴。原來，讓蒙哥馬利雲裡霧裡的關聯函數正是戴森研究二十年的成果——這不是別的，正是一類隨機厄密矩陣本征值的對關聯函數。這是一個描述多粒子系統在相互作用下，能級分布規律的函數。

一邊是純數學的黎曼猜想，它關乎的僅僅是一個Zeta函數非零點分布這樣最純碎的數學性質，揭示的是質數在自然數序列裡優雅的舞姿和節奏。另一邊，卻是最現實的物理世界，它連接著量子體系、無序介質和神經網絡等等經典的混沌系統。

理論和現實在這裡交匯，在封閉的世界裡獨自發展了兩千多年後，作為數學最主要的分支——數論終於將觸角探及真實的時空。時至今日，人們對此呈現出的種種不可思議的關聯仍然感到匪夷所思。

數學理論照進現實

進入二十一世紀，越來越多的數學理論成果開枝散葉，很多早期被認為無用之用的分支，今日早已經成為現代科技最強有力的工具，為現代科技的發展推波助瀾。

曾經被人們束之高閣而偏安一隅的數學研究正化作人們手中的利器，在探索物質世界的途中披荊斬棘，更為人們提供越來越多的思想動力和創造的源泉。

微積分的誕生開啟了牛頓機械宇宙觀的巨集偉時代。人們驚奇地發現：普天之下，莫非王土，原來物理世界並不神秘，也並無不同，即使隱匿在宇宙深空的天體，其運動的規律都臣服在人類制定的法則之下。自此之後，牛頓力學開始大放異彩，基於其原理所發明的蒸汽機和發動機更是直接點燃了第一次工業革命的烈火。

我們今日所享受的資訊時代的文明，諸如電腦芯片和萬維網都深深地受益於量子力學的發展。這門徹底改變人們生活的科學，卻源自於很多數學基礎理論的饋贈，從線性代數、矩陣分析、統計學起，到數學家們為了解決五次方程求解問題而發明的群論等等。

基於廣義相對論，人們發明了突破地球引力約束的衛星。這使得天地通訊成為可能，也為深空探測、陸海導航打下了基礎。人們日益頻繁的出行，基於地理位置的GPS導航等等都在為我們的生活提供前所未有的便利。讓愛因斯坦流芳千古的廣義相對論，其數學原理正是非歐幾何（特別是黎曼幾何）和張量分析的應用。

自80年代末期，在物理理論中一枝獨秀的弦論，因為其大膽和前衛的想法，深受彼時科學家的青睞。這個有望解決相對論和量子力學的大一統理論，已經逐漸在主流科學界激起千層巨浪。弦論蓬勃發展的路線上，我們不難看到微分幾何堅定的背影。

2016年，三位物理學家分享了最高的榮譽——諾貝爾獎。他們因發現了物質拓撲相和在拓撲相變理論上的突出貢獻而獲獎。數學上艱深抽象的拓撲理論第一次也找到了用武之地。

物理學家用這個工具在理論上預測了一種特殊材質的存在，在它身上，人們能觀測到匪夷所思的反常量子霍爾效應。基於該效應發現的材料，能夠在常溫下、無需超強磁場的協助就能自發在某個方向上呈現電阻為零的特性。這讓電腦芯片的發展有了無限廣袤的太空，從此量子電腦和微型超級電腦的夢想距離我們又近了一大步。

數論：待開墾之地

數學的各大分支都在默默地為前沿科學提供精妙絕倫的應用。遺憾的是，有一門分支陪伴人類走過漫漫兩千多年真理探尋的艱辛旅途，卻還在其封閉的理論王國裡孤芳自賞。作為數學家們最悠久和最忠實的夥伴，不離不棄，它就是數論。

這個數學中最大的分支已經積累了無數深邃的理論成就，當今科技能受益於數論的成果不過就是隱秘在水下的冰山一角。人們都期待著，有朝一日，當冰山融化時，數論的碩果能惠及每一個後世子孫。破冰的希望，很可能就是處於群山之巔的黎曼猜想。

黎曼猜想，只是數論研究裡萬千瑰麗中的一朵。人們也期盼著，從它和現實世界那讓人千絲萬縷的關聯中，能找到打開果園的鑰匙，讓世界從此彌漫著果實的芬芳。

黃逸文(中國科學院數學與系統科學研究院)