2020年高考加油，每日一題：命題的真假判斷與應用

典型例題分析1：

已知函數f（x）=x+sin2x．給出以下四個命題：

∀x＞0，不等式f（x）＜2x恆成立；

∃k∈R，使方程f（x）=k有四個不相等的實數根；

函數f（x）的圖象存在無數個對稱中心；

若數列為等差數列，且f（al）+f（a2）+f（a3）=3π，則a2=π．

其中的正確命題有　 　．（寫出所有正確命題的序號）

解：當x=π/6時，顯然f（x）＞2x，故錯誤；

根據函的圖象易知，方程f（x）=k最多有三個不相等的實數根，故錯誤；

根據函數的圖象易知函數f（x）的圖象存在無數個對稱中心，故正確；

f（al）+f（a2）+f（a3）=3π，

∴al+a2+a3=3π，sinal+sina2+sina3=0，解得a2=π，故正確．

故答案為：．

考點分析：

函數的圖象．

題乾分析：

用特殊值的方法即可；

根據函數圖象判斷；

可用反代的方法判斷成立．

典型例題分析2：

已知函數f（x）=x+sin2x．給出以下四個命題：

∀x＞0，不等式f（x）＜2x恆成立；

∃k∈R，使方程f（x）=k有四個不相等的實數根；

函數f（x）的圖象存在無數個對稱中心；

若數列為等差數列，且f（al）+f（a2）+f（a3）=3π，則a2=π．

其中的正確命題有　 　．（寫出所有正確命題的序號）

解：當x=π/6時，顯然f（x）＞2x，故錯誤；

根據函的圖象易知，方程f（x）=k最多有三個不相等的實數根，故錯誤；

根據函數的圖象易知函數f（x）的圖象存在無數個對稱中心，故正確；

f（al）+f（a2）+f（a3）=3π，

∴al+a2+a3=3π，sinal+sina2+sina3=0，解得a2=π，故正確．

故答案為：．

考點分析：

函數的圖象．

題乾分析：

用特殊值的方法即可；

根據函數圖象判斷；

可用反代的方法判斷成立．

典型例題分析3：

由條件可得，函數f（x）是周期等於4的周期函數，且函數在[0，2]上是增函數，在[2，4]上是減函數．

根據f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（1），f（6.5）=f（1.5），再利用函數在[0，2]上是增函數可得結論．

解：由可得函數的圖象關於直線x=4對稱；，由可得函數在[0，2]上是增函數；

由可得函數f（x+2）為偶函數，故f（2﹣x）=f（2+x），故函數f（x）的圖象關於直線x=2對稱．

綜上可得，函數f（x）是周期等於4的周期函數，且函數在[0，2]上是增函數，在[2，4]上是減函數．

再由 f（4.5）=f（0.5），f（7）=f（3）=f（2+1）=f（2﹣1）=f（1），

f（6.5）=f（2.5）=f（2+0.5）=f（2﹣0.5）=f（1.5），

故有 f（4.5）＜f（7）＜f（6.5），

故選A．

典型例題分析4：

下列說法中，不正確的是（　　）

A．已知a，b，m∈R，命題“若am2＜bm2，則a＜b”為真命題

B．命題“∃x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”

C．命題“p或q”為真命題，則命題p和q命題均為真命題

D．“x＞3”是“x＞2”的充分不必要條件

解：A．若am2＜bm2，利用不等式的性質可得：a＜b，因此為真命題；

B．命題“∃x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”，正確；

C．“p或q”為真命題，則命題p和q命題至少有一個為真命題，因此不正確；

D．“x＞3”“x＞2”，反之不成立，因此“x＞3”是“x＞2”的充分不必要條件，正確．

故選：C．

考點分析：

命題的真假判斷與應用．

題乾分析：

A．利用不等式的基本性質即可判斷出正誤；

B．利用命題的否定定義即可判斷出正誤；

C．利用複合命題的真假判定方法即可判斷出正誤；

D．“x＞3”“x＞2”，反之不成立，即可判斷出正誤．