德巴巴裡《帕喬利肖像》（1495）
現藏那不勒斯卡波迪蒙特宮
撰文 | 劉 鈍（清華大學科學史系教授）
筆者在前文“獨孤信印與秦漢酒骰的幾何學”中已經提到上面這幅圖，它是意大利畫師雅可布·德巴巴裡（Jacopo de’Barbari, c. 1460-before 1516）的作品。在恆星戰役璀璨的文藝複興盛期，德巴巴裡算不上一流畫家，但他的這幅《帕喬利肖像》卻非常有名。前文隻涉及畫面左上角的那個水晶多面體，本文則要談談畫面右下角那個多面體，更多的關注則是畫面中央的人物——文藝複興時代意大利的數學家帕喬利。
方濟各會修士
身著方濟各會修士袍的人就是盧卡·帕喬利（Luca Pacioli, 1445-1517），他身邊的年輕人是學生與庇護人、熱愛科學和藝術的第三代烏爾比諾公爵?——蒙泰費爾特羅家族的蓋多巴爾多（Guidobaldo da Montefeltro, 1472-1508）。據說蓋多巴爾多曾向帕喬利學習數學，畫面上的道具也多與數學有關。
帕喬利生於托斯卡納的桑塞珀爾克羅（Sansepolcro），在佛羅倫薩市東南約80公里、佩魯賈北面約50公里，文藝複興時代的另一位藝術大師兼數學家弗蘭切斯卡（Piero della Francesca, c. 1415-1492）也誕生於此。關於帕喬利的教育背景與知識來源人們所知甚微，推測他曾向弗蘭切斯卡學習幾何與透視原理。還有人認為弗朗切斯卡為烏爾比諾公爵所作的祭壇畫中，聖母右邊聖方濟各（Francis of Assisi, 1182-1226）的形象，就是以年輕的帕喬利為模特的。
弗朗切斯卡《蒙泰費爾特羅祭壇畫》（c.1472-1474）
現存米蘭布雷拉畫廊（Pinacoteca di Brera）
上圖即《蒙泰費爾特羅祭壇畫》，又名《聖母子與諸聖人》，畫中的拱頂及其他背景體現了精準的透視法，是弗朗切斯卡最受人稱讚的作品之一。畫面中身著甲胄下跪的騎士就是第二代烏爾比諾公爵、也就是蓋多巴爾多的父親斐迪利哥（Federicoda Montefeltro, 1422-1482），他們父子都以保護和讚助藝術聞名。位居畫面中央的是聖母瑪利亞和聖嬰耶穌，緊挨著聖母的四個年輕女性是天使，在她們兩邊站著一些有名的聖徒，其中右數第三人穿著灰色僧袍，一隻手扯開胸前右肋部的破洞露出“聖痕”（stigmas），這是聖方濟各的典型特徵。這一形象的外觀年齡與作畫時的帕喬利相符，與德巴巴裡繪製的肖像也有幾分相似，只不過後者是50歲時的形象，前者還不到30歲而已。
德巴巴裡畫中的帕喬利
弗朗切斯卡畫中的聖方濟各
聖方濟各是一個真實人物，他出身富家卻甘願選擇與貧窮為伍，聲言只有在貧窮和饑餓中才能找到快樂；他又是一個現代意義的生態主義者，能與大地、天空和海洋中的萬物生靈溝通。他於1209年創立的方濟各會是羅馬教廷認可的最有影響力的修會之一。傳說1224年四旬齋節期間聖方濟各突然獲得恩寵，在極度喜悅與痛苦中看到耶穌受難的形象，甦醒過來後發現自己雙手、雙腳和右肋各有一個流血的傷口，這就是耶穌送來的聖痕。下圖是意大利巴洛克畫家卡拉瓦喬（Caravaggio, c. 1572-1610）的作品，描繪聖方濟各悲喜交加而暈眩過去的那一刻。
卡拉瓦喬《聖方濟各的暈眩》（1594），現藏美國康涅狄格州哈特福德市Wadsworth Atheneum博物館
1464年，不到20歲的帕喬利來到威尼斯，受雇於一位富有的商人艾爾托尼奧（Ailtoniode Rompiasi），擔任其三個兒子的家庭教師，很可能還兼任账房先生。威尼斯是當時商業最繁華的城市，帕喬利關於商業簿記的知識大概就與這段經歷有關。1470年帕喬利前往羅馬，在著名建築師同時也是藝術家和數學家的阿爾伯蒂（Leon Battista Alberti, 1404-1472）工作室學習。他於1473年加入了方濟各會，此時被年長的老鄉弗朗切斯卡當作模特是極有可能的。在研修神學的同時，帕喬利開始在意大利各地旅行，以修士身份在佛羅倫薩及多處布道，亦曾擔任過地區教長，同時他也在不同的地方講授數學與軍事科學，包括佩魯賈、佛羅倫薩、羅馬、威尼斯和那不勒斯。
下圖為帕喬利同時代的威尼斯畫家貝裡尼（Gentile Bellini, c. 1429-1507）所作，描繪聖馬可廣場前的遊行盛況，時間是1496年，與帕喬利在威尼斯謀生的時間相當接近。
貝裡尼《聖馬可廣場前的隊列》（1496）
現藏威尼斯美術學院畫廊
1497年一個新的主顧找上門來，那就是權傾一時的米蘭大公、斯福爾扎家族的盧多維科（Ludovico Sforza, 1452-1508）。這個雇傭軍出身的家族權勢有多大，用一件事就可以說明——佛羅倫薩最顯赫的美第奇家族的大當家洛倫佐（Lorenzode’ Medici, 1449-1492）為了向其示好，1482年特派精通音樂的達文西，帶著作為禮物的豎琴前往米蘭覲見盧多維科。隨後達文西就被斯福爾扎家族羅致門下。帕喬利到來的時候，這位藝術大師正在為當時屬於這個家族的聖瑪麗慈悲修道院繪製《最後的晚餐》。
帕喬利的第一位讚助人烏爾比諾公爵
蓋多巴爾多，拉斐爾畫（c. 1502）
現藏佛羅倫薩烏菲茲美術館
帕喬利的第二位讚助人米蘭大公盧多維科
G.A.de Predis繪，現藏Trivulzio 城堡
正是在盧多維科的米蘭宮廷裡，帕喬利結識了達文西並向他講解數學；作為回報，後者為他的《神聖比例》製作了60多幅版畫插圖。兩位傑出學者在米蘭的因緣際會為科學與藝術聯姻作了最好的注解，直到1499年法王路易十二率軍侵入米蘭驅逐盧多維科，他們倆人又結伴逃往佛羅倫薩。
1500年左右，帕喬利在比薩大學講授歐幾裡得幾何學，翌年兼任博洛尼亞大學教授。1514年，剛升教皇聖座的利奧十世（Pope Leo X，1475-1521）任命他為羅馬大學（La Sapienza）數學教授，這一職位相當於教廷數學家，是當時天主教世界最高的數學榮譽。他的最後幾年是在家鄉度過的，1517年6月18日在桑塞珀爾克羅去世。
教廷數學家
讓我們回到那幅雙人肖像：畫中的帕喬利右手拿著一根細棒指向畫板上的幾何圖形，畫板的前緣可以辨認出“歐幾裡得”（EVCLIDES）的字樣；他的左手平放在一本攤開的書上，食指指向書中的某一段落，一般認為這本書就是他的傑作《算術、幾何、比與比例集成》（Summa de arithmetica，geometria，proportioni et proportionalita，以下簡稱《集成》），此書乃是題獻給蓋多巴爾多的。
《帕喬利肖像》細部：帶有“歐幾裡得”字樣的畫板、矩尺、文具等
鋪著綠色台布的桌面上擺放著一些文具，從左到右依次為：海綿，矩尺，筆和墨水瓶，筒狀文具盒，粉筆，圓規，以及寫著據悉是畫家名字、作畫地點與時間（IACO. BAR. VIGENNIS. P. 1495）的小紙片；最右端則是一個方盒狀的東西，其中可以辨認出LVC三個字母，有人說代表帕喬利名字的縮寫“盧卡”。
《帕喬利肖像》細部：《集成》、圓規、畫家名片等
值得注意的是，畫面左上方懸著一個類球狀的水晶體，其表面由18個全等的正方形和8個全等的正三角形構成，西文學名rhombicuboctahedron，可譯作小斜方截半立方體，更準確的術語應該是48等邊半正多面體；與之相對，畫面右下角那個方盒狀物體的上面，有一個正12面體模型，其表面是12個全等的正五邊形。正12面體在西方文化中往往指代地球之外的星空，大概是由數字12聯想到黃道十二宮，也就是希臘人從古代巴比倫那裡學來的劃分星空的坐標系統。在帕喬利面前擺放一個正12面體模型，似乎暗示他與上帝有關。
《帕喬利肖像》細部：48等邊半正多面體
《帕喬利肖像》細部：正12面體
羅馬作家普羅克魯斯（Proclus，412-485）說公元前六世紀的畢達哥拉斯學派已經研究過正多面體，不過在歐幾裡得《幾何原本》的一個早期版本中，注釋者提到畢達哥拉斯學派僅僅知道正方體、正4面體和正12面體。著名的荷蘭代數學家范德瓦爾登（Vander Waerden，1903-1996）寫過一本關於西方科學萌芽的書《科學覺醒》，內中提到考古學家曾在意大利帕多瓦附近發掘出一個滑石製成的正12面體模型，其年代早於公元前500年，時間和地點都與畢達哥拉斯學派活動的軌跡相近。
柏拉圖（Plato，c.427-347 BC）在《蒂邁歐篇》中，將古代愛奧尼亞學派的元素學說與自己珍視的幾何學結合起來。書中提到構成世界的四大元素對應四種正多面體：火對應正4面體，土對應正6面體，氣對應正8面體，水對應正20面體；又將不同的物理屬性賦予這些元素或立體，例如火與正4面體對應小、輕、熱、尖銳，水與正20面體對應大、圓、柔，土與正6面體對應重、穩、冷、堅硬，氣與正8面體居於火、水之間，以此來解說地上萬物的生成與變化。
書中還提到第五個立體，並稱“造物主用其代表作為一個整體的宇宙的形狀（to represent the shape of the Universe as a whole）”，但是沒有為它命名，也沒有提到它的形狀；有的注釋者則將同一句話譯成“神用它來界定宇宙（that which God used in the delineation of the universe）” 。後來亞裡士多德（Aristotle，384-322 BC）借用前輩描述純淨的火或者氣的詞aether，創造了一個與正12面體對應的神性元素——以太，也就是組成星空及星體的元素。至此五種正多面體都有了對應的元素，而“以太”在現代物理觀念的演進過程中扮演了甚為關鍵的作用，那是後話。
據說柏拉圖學派的泰阿泰德（Theaetetus，c. 417 BC-369BC）最早給出五種正多面體的數學描述並證明只有五種凸的正多面體，後者正是歐幾裡得《幾何原本》最後一個命題（卷13命題18）的推論。楊振寧先生說：“希臘人發現了五種規則立體，它們是高度對稱的。這使某些權威認為，歐幾裡得匯編《幾何原本》實際上就是為了證明這五種規則立體是僅有的規則立體。”以只有五種正多面體的結論為《幾何原本》謝幕這一事實，或許使某些“輝格立場”的當代數學家認為：歐幾裡得匯編《幾何原本》的終極目標，就是為柏拉圖的宇宙觀提供一個可靠的數學基礎。這一說法很動人，但是未必符合歷史的真實情況。
達利《最後晚餐的聖禮》（1955）
今存華盛頓特區美國國家美術館
上圖是西班牙超現實主義畫家達利（Salvador Dalí，1904-1989）的作品《最後晚餐的聖禮》，神情莊嚴的耶穌正向弟子們宣示天機，石塊砌成的台面上有代表聖餐的麵包和紅酒，11個忠誠的門徒低垂下頭傾聽著，出賣耶穌的猶大不在其中。值得注意的是，耶穌的上方浮現出一個巨人的上身，而整個畫面處於一個正12面體的廳堂內，象徵上帝正要召喚自己心愛的兒子升往天堂。
由兩種或兩種以上正多邊形為表面構成的規則凸多面體稱為半正多面體，根據三世紀希臘學者帕普士（Pappus，c. 290-350）的記載，阿基米德曾研究過全部13種半正多面體，所以它們也被稱作“阿基米德體”（Archimedean solids）。中國清代數學家梅文鼎（1633-1721）在《幾何補編》（1692）中介紹了兩種半正多面體，其中的“方燈”是24等邊體，通過正六（或八）面體各棱的中點作切割而成；“圓燈”是60等邊體，通過正12（或20）面體各棱的中點作切割而成。他的友人孔林宗在注記中說借助正六（或八）面體可以構造出一個48等邊半正多面體，這就是德巴巴裡《帕喬利肖像》中那個懸掛著的水晶體模型。達文西曾為帕喬利的《神聖比例》第一卷繪製插圖，其中也有這種半正多面體的立體框架圖。
由正6面體（即立方）構造48等邊半正多面體
達文西繪製的立體框架圖
《神聖比例》（Divina proportione）寫成於1496-1498年之間，1509年在威尼斯正式出版。此書分為三部分：第一部分主要介紹黃金分割的性質及其在藝術中的應用；第二部分討論羅馬建築師維特魯維的《建築十書》，特別是人體比例與人工建築的關係；第三部分是弗朗切斯卡《論五種正多面體》（De quinque corporibus regularibus）的意大利文譯本，為此帕喬利曾遭到剽竊的指責。該書還有兩個附錄：附錄二是達文西繪製的版畫；附錄一是帕喬利自己為23個拉丁大寫字母設計的“建築體”（Architectural letter）圖樣。他的設計很受後代書商和藝術裝潢家們的青睞，紐約大都會藝術博物館的館徽就是帕喬利設計的大寫M。
紐約大都會藝術博物館及其館徽
上面提到，帕喬利最有名的著作《集成》是題獻給其庇護人蓋多巴爾多的。這部書初刊於1494年，是《幾何原本》首部印刷本（1482）之後西方第二部印刷出版的數學書籍。它與斐波那契（Fibonacci,1175-1250）的《計算之書》（Liber Abaci，1202）、卡爾達諾（Girolamo Cardano，1501-1576）的《大術》（Ars Magna，1545）並稱文藝複興時代的三大數學名著。
《集成》用意大利文寫成，全書600多頁，分為10章，是一部綜合性的數學百科全書，內容包括實用算術、代數基礎、更加規範的印度-阿拉伯記數法、以印刷形式給出的手指記數圖示、以詞語縮寫或首母形式表示的數學符號、歐幾裡得幾何學概述、高次方程求解，以及商業算術，幾乎包括了文藝複興時代歐洲算術、代數和三角學中的所有知識。與斐波那契的《計算之書》一樣，帕喬利的《集成》代表了當時流行的一種被稱為“算盤師”（abacist）的數學傳統。兩書都把一些新奇的算法歸之於商業繁榮的結果，但未明確交代其來源，如著名的“雙設法”（double-false method，也就是中國的“盈不足術”）。
《集成》第二版（1523）書名頁
《神聖比例》初版（1509）書名頁
以今日的觀點來看，《集成》更像一個大拚盤，有些問題結論不確但不失創意和啟發性。下面這個例子最有意思，它是日後概率論中期望值理論的雛形，也被稱為“賭注分配”問題（Problem of division of thestakes）或“梅內騎士”問題（Problem of Chevalier de Méré），因一位自稱“梅內騎士”的法國作家龔博（Antoine Gombaud,1607-1684）得名，他喜歡提出各種各樣的智力問題，向當時流行的文化沙龍挑戰。
《集成》中的表述為：A、B二人奕棋賭博，規定先贏六盤者為勝，賭注若乾由勝者通吃；但是A已獲五勝時棋局被意外打亂，在無法繼續博弈的情況下該如何分配賭資？帕喬利認為應該按照A、B各自獲勝盤數之比分配，例如B勝三盤，則A、B二人分得賭資之比為5:3。在他那個時代，數學意義上“機會”的觀念還沒有誕生。雖然這一結論是錯誤的，卻引起概率論前驅們的關注，例如與卡爾達諾同時的塔塔利亞（Niccolò Fontana Tartaglia, 1499-1557）就指出帕喬利的方案不合理，但他也沒能提出正確的方法來。最早指出正確思路的是17世紀法國數學家帕斯卡（Blaise Pascal, 1623-1672），他認為不應以贏得盤數、而應以為了贏得整個賭局所需的勝盤數為依據來考慮問題。1654年，帕斯卡在梅森神父（Marin Mersenne, 1588 -1648）的沙龍那裡獲知這一難題，隨後他與費馬（Pierre de Fermat, 1607-1665）通信，兩人討論了這一問題並共同對之加以推廣。
佚名《帕斯卡像》（c.1690） 現藏凡爾賽宮
佚名《費馬像》（17世紀） 收藏地不詳
以六盤決勝為例，帕斯卡提出，假如兩人已各勝五盤，那麽平分賭資即可；假如棋局破壞前A勝五盤B勝四盤，若加賽一盤且排除和局，此時會有兩種可能：A勝則獲全部賭注，因為總比分是6:4；B勝則平分賭注，因為總比分是5:5。這樣A應得的賭資比例為1/2加上剩餘一半的1/2，即1/2+1/2×1/2=3/4；B應得賭資比例為1/4。假如棋局破壞前B已勝三盤，即令再勝一盤也只能達到前述結果，即A得3/4而B得1/4；但是B要想翻盤就得再下一盤，即便勝了也只打成平局，因此A仍可分得B的1/4份額的一半，所以A應得的賭資比例為3/4+1/2×1/4=7/8，B得1/8。類似地，如果棋局破壞前B僅勝二盤、一盤或全負，則A應得的賭資比例分別是7/8+1/2×1/8=15/16、15/16+1/2×1/16=31/32、以及31/32+1/2×1/32=63/64。一般地，無論事先約定先贏盤數是多少，如果棋局破壞前A還差r盤贏得整個比賽，B還差s盤贏得整個比賽，則A贏得的賭資比例為 （2的n次方–1）:2的n次方，其中n=r+s-1。可以看出，這一結果與所謂的帕斯卡三角形（Pascal triangle）有關，這裡就不多講了。
後來有人建議把1654年7月29日，也就是帕斯卡寫信給費馬探討這一問題的那天，作為概率論的誕生之日，而這一問題的最早表述是由帕喬利在《集成》中提出來的。
現代會計師的鼻祖
在宗教改革與新教倫理興起之前，天主教文化至少在表面上是鄙視世俗對金錢的追求的，方濟各等托缽修會更以“棄財”“絕色”標榜。下面這幅圖描畫了《聖經》中馬太蒙召的故事：在一間昏暗的房間裡，幾名稅吏正圍坐在桌前分錢，突然從門外闖進兩個人，其中一人的身體大部分隱身在黑暗裡，只露出冷峻的側臉和前伸的右臂，頭頂上依稀可見一個金色的光環，這就是基督耶穌，站在他身邊的是大門徒聖彼得。光從頭頂瀉下，照亮了桌前的稅吏們，耶穌目光炯炯，手指其中的一位說道：“跟我來，撇下你所有的。”被召喚的正是馬太，驚訝無比的他抬起頭望著陌生人，用手指著胸前自語道：“是我嗎？一個卑賤的稅吏。”
卡拉瓦喬《召喚聖馬太》（1600）
現藏羅馬孔達雷利（Contarelli）禮拜堂
作為方濟各會修士的帕喬利，卻被世人奉為現代會計師的鼻祖，《集成》則被認為是現代會計制度的開山之作，原因就是該書系統總結了當時的商業算術，正好適應了市民社會與商業繁榮的需要。有關內容都在第九章，共計150頁，具體包括意大利各地使用的幣值、重量部門和度量表、易物貿易、匯票交易，以及最重要的——複式簿記（double-entry bookkeeping）方法。
帕喬利沒有聲稱是自己發明了這種記账法；相反，他明確交代這是由威尼斯商人發展的一種記账制度。早在11-12世紀，意大利的一些城市如熱那亞、佛羅倫薩和威尼斯就成為東方貿易的視窗，現今發現的最早複式簿記账本就出自熱那亞，時間是1340年。後來這種方法流傳到當時的國際商貿中心威尼斯，被稱為“威尼斯記账法”。帕喬利的貢獻是對這一已經流行的簿記知識加以系統整理，他在書中明確區分了日账（journals）與分類账（ledgers），提出著名的會計恆等式E=A–L（淨值=資產–負債），還歸納出成功經營的三大法寶：充足的現金或信用，優秀的會計師，以及出入平衡的記账制度。他的名言包括“在支出（debits）與收入（credits）账面不等時商人絕不能上床睡覺”，“交換就是為了獲得更多利潤而用一種物品兌取另一種物品”。他認為算術是確保公平和利潤的強大工具，因為不同類型的商品（goods）必須轉換為具有同一價值標準的量化指標，也就是貨幣（money），所以一切商業活動都不過是以貨幣為符號的算術運算。
19世紀初德國的一本複式簿記 圖片來源：維基百科
這些觀念和做法在今日看來平淡無奇，卻成了15-17世紀商業活動與資本積累的金科玉律，它為資本主義時代的到來準備了一個完美的經濟資訊系統，有人甚至誇張地說“倘若沒有複式簿記，就沒有資本主義的出現”。德國詩人歌德讚美複式簿記是“人類智慧的絕妙創造之一”，英國數學家凱萊稱它“如同歐幾裡得的比例論一樣精確可靠”。學者們還有一個更具挑戰性的觀點，那就是將這種把商品還原為可量化貨幣的實用技術，以及在商業活動中追求精確收支平衡的原則，與大自然的數學化這一偉大歷史進程加以類比，從而在複式簿記與近代科學的興起之間建立一定的聯繫。因此有人說：“創造複式簿記的精神，也就是創造伽利略和牛頓體系的精神。”航海、貿易、商業、資本積累，以及數學的應用，這些因素確實催發了近代科學與近代社會的誕生。
回到開篇那幅帕喬利的畫像，筆者最早是在一本名為《數學簡史》的小書中見到的，時間是1970年初，當時還在內蒙插隊的我很納悶作者為什麽要在一本篇幅不大的書中選用這幅畫，而且是唯一的插圖，難道帕喬利的數學成就比歐幾裡得、牛頓、歐拉與高斯們還要高嗎？後來有幸進入科學史領域，了解了該書作者斯特洛伊克（Dirk Jan Struik，1894-2000）的生平和立場，原來他是以馬克思主義的歷史觀來寫作的，這就可以領悟他鍾愛《帕喬利肖像》的原因了。斯特洛伊克重視社會環境特別是經濟基礎對近代科學誕生的意義，而帕喬利詳盡描述的複式簿記和商業算術，恰好為這一觀點提供了注腳。
余 話
帕喬利還有一些其他作品。他整理翻譯過歐幾裡得的《幾何原本》，其底本是13世紀意大利數學家卡姆潘努斯（Campanus of Novara）依據阿拉伯文譯成拉丁文的早期譯本。博洛尼亞大學圖書館還保存著他的一份長達300多頁的數學遺稿，內容涉及數學遊戲和相關的詩句和諺語等。梵蒂岡圖書館則收藏了他另一部厚達600多頁的手稿（Ms.Vatican Library，Lat.3129），是他在佩魯賈大學教授數學的講義。2006年，他的一部有關象棋的遺稿（De ludo scacchorum）被人發現了，兩年後在其家鄉桑塞珀爾克羅出版。
1878年，帕喬利家鄉的市政當局在他出生的房屋附近立了一塊大理石銘牌，上面鐫刻著如下的文字：
盧卡·帕喬利，達文西與阿爾伯蒂是其朋友和顧問，他將代數引向科學又應用於幾何，他講授複式簿記，他的工作成為後來數學研究者的基礎與規範。為了這位偉大的市民，桑塞珀爾克羅人民在令人感到難堪的370年沉默後，立此石碑以志紀念。
現在這塊銘牌已被移至桑塞珀爾克羅市立博物館對面的牆上。1994年，為了紀念《集成》出版500周年，人們又在市中心建造了一座大理石雕像：身著方濟各會修士袍的帕喬利手捧著他的《集成》，基座上則有“盧卡·帕喬利——《集成》——1494～1994”等字。
帕喬利家鄉博物館對面牆上的紀念銘牌
帕喬利家鄉《集成》出版500周年紀念碑
2000年初，借出席美國數學會/美國數學家聯合會（AMS/MAA）千禧年大會召開的機會，筆者繞道波士頓專門拜訪斯特羅伊克——這位出生於19世紀末的學界奇人，是他的《數學簡史》令我見識《帕喬利肖像》這幅內涵豐富的影像，也成了我日後從事科學史研究的一個誘因。幸運的是，我還能夠把自己30年前的心情向這位期頤老人講清楚——一個生活在文化與自然荒漠中的中國青年農民，在那本小書展現的人類智慧演進的絢麗圖景面前的癡迷。那次短促的訪問九個月後，老人在家中溘然辭世，享年106歲。美國一些大報和有關網站對此都有所反應。關於他的長壽，《波士頓環球報》當年10月24日的一篇悼文中說，他“將其長壽的原因部分地歸於數學和歷史研究所帶來的歡愉。” 謹以此文紀念引導我初窺科學與藝術堂奧的斯特洛伊克。
本文作者在波士頓訪問斯特洛伊克教授
2000年1月31日
參考文獻
Gleeson-White, Jane.2011. Double Entry: How the Merchants of Venice Created Modern Finance, London: W. W.Norton & Company.
Hadden, Richard. 1994. On the Shoulders of Merchants: Exchange and the Mathematical Conception of Nature in Early Modern Europe. Albany: State University of New York Press.
Heath, Thomas. 1921. A History of Greek Mathematics. 2 vols. Oxford: Oxford University Press.
Lauwers, Luc& Willekens, Marleen. 1994. Five Hundred Years of Bookkeeping: A Portrait of Luca Pacioli.Tijdschrift voor Economie en Management. Katholieke Universiteit Leuven. 39（3）:289–304.
Plato. 1925. Timaeus. Plato in Twelve Volumes. Vol. 9. trans. by W.R.M. Lamb. Cambridge, MA: Harvard University Press; London: William Heinemann Ltd.
Van der Waerden, B.L. 1954. trans. by Dresden, Arnold. ScienceAwakening. Groningen: P. Noordhoff Ltd.
柏拉圖著. 謝文鬱譯注. 2003. 蒂邁歐篇.上海：上海人民出版社.
葛家澍.2007.複式簿記的開山之作：巴其阿勒會計論.財會通訊.第9期.
劉鈍. 2002.數學、歷史與馬克思主義. 科學技術與辯證法. 19卷2期. 72-76.
劉鈍. 2013.帕喬利：數學、上帝和資本. 科學文化評論. 10卷1期. 126-128.
劉鈍.2018.獨孤信印與秦漢酒骰的幾何學.數學文化.9卷1期.62-69.
梅文鼎. 1759. 幾何補編. 梅氏叢書輯要.卷二十五-二十八. 乾隆二十四年承學堂刊本.
斯特洛伊克著. 關嫻譯.1956. 數學簡史. 北京：科學出版社.71.
王青建.帕喬利. 1992. 世界著名科學家傳記.數學IV.北京：科學出版社. 126-131.
楊振寧.1991.對稱和物理學.二十一世紀.總6期.
原題“帕喬利：修士、數學家、現代會計學鼻祖”，載《數學文化》2018年第9卷第1期51-61頁，本文略有增修。
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