從提出離散的光量子概念，到哥本哈根詮釋對波函數與波粒二象性有更深入的理解；從整合物質波的波動力學與矩陣力學表述，到用場來統一描述電磁場與實物粒子；從統一電弱相互作用的楊-米爾斯理論，到描述強相互作用的量子色動力學；從簡潔優雅的標準模型，到超越標準模型的弦理論以及其他理論。經過100多年的接力，物理學家逐漸建造起量子力學的宏偉殿堂，並顛覆了我們對世界的認知，然而，直到今天，這些理論隻幫助人類理解了4.9%的宇宙，剩下的更大部分的暗物質與暗能量我們仍然所知甚少。
撰文 | 項海波
1 開宗立派：光量子，玻爾模型
1900年12月14日，精通音樂與作曲的德國物理學家普朗克（Max Planck，1858-1947）發現，若以一種量子化（quantization），即不連續、離散的觀念來看待電磁波的能量隨頻率的分布，則可以得到關於黑體異塵餘生（對於外來的電磁波無反射、無透射，完全吸收，這樣的物體稱為黑體（black body）。 黑體自身異塵餘生出電磁波的現象稱為黑體異塵餘生。）的正確公式。儘管後來這一天被視為量子力學（或舊量子論）的誕生日，但當時普朗克本人對其中蘊含的革命性思想完全不以為意。
圖1：黑體異塵餘生的頻譜。 普朗克公式與實驗結果完全一致。
1905年，愛因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）於蘇黎世大學博士畢業，在這一年裡，他連續發表了關於光電效應、布朗運動、狹義相對論以及質能關係的四篇論文，在物理學的四個不同領域中同時做出了開創性的巨大貢獻。故1905年也被稱為愛因斯坦奇跡年（Annus mirabilis）。其中，在對光電效應的研究中，愛因斯坦提出，量子化並不僅僅是一種數學上的技巧，光的能量本身就是量子化的。具體地說，對於頻率為 ν 的光，其能量只能為
E = hν = ?ω (1)
的整數倍，其中 h = 6.626 × 10^?34 J·s 被稱為普朗克常數，? := h/2π被稱為約化普朗克常數；而一定頻率下具有最小能量 (1) 的光被稱為一個光量子（light quantum），或叫光子（photon）；光的被發射或被吸收最少只能以一個光子的份額進行。當然，再考慮到由狹義相對論導出的光的能量動量關係 E = pc，我們還可獲知，光的動量也是量子化的，即
p =h/λ或 p = ?k (2)
為一個光子所攜帶的動量。愛因斯坦的這種觀點極具想象力與突破性，與人們長久以來存於腦中的關於物質世界的“連續性”這一既有觀念形成了強烈的衝撞，以至於甚至遭到了作為量子論創始者的普朗克的反對。但它最終被實驗證實，成為量子力學的肇始之一。
1913年，為了解決原子光譜的離散性問題，以及在經典物理學框架下 盧瑟福原子模型（行星模型）的不穩定性，新婚第二年的玻爾（Niels Bohr，1885-1962）提出了關於原子結構的玻爾模型。其核心觀點是，
? 電子穩定地位於原子核外一系列離散的能級上（即軌道能量與角動量 是量子化的）；
? 只有當電子在兩條能級間躍遷時，原子才以頻率 ν = (?E)/h 發射或吸收譜線。
對於氫原子等一些簡單的情形，玻爾的理論給出了與實驗結果?分相符的說明。
以上這些工作構成了早期量子理論的主要部分。顯然，它啟發我們，微觀世界應該有一個有異於經典物理學的全新的基礎性規律。
2 任督貫通：矩陣力學、波動力學、相對論量子力學
在提出光量子概念以後的?數年裡，愛因斯坦進一步指出，波動性與量子性（粒子性）是光所必須具有的內在屬性，這被稱為光的波粒二象性。1924年，在愛因斯坦光量子理論的啟發下，大學早期曾就讀於歷史學專業的德布羅意（de Broglie，1892-1987）於其博士論文中提出，有必要把波粒二象性（wave-particle duality）拓展到全部微觀粒子，即波可以具有量子（粒子）性，而普通實物粒子亦應可以具有波動性。由此，德布羅意給出物質波（matter wave）假設，它認為對於動量與能量分別為 p 與 E 的自由實物粒子，有如下波與其相聯繫：
λ = h/p, (3)
ν = E/h. (4)
德布羅意的物質波理論被他的導師轉交愛因斯坦審閱，並得到了後者的大力讚賞，這不僅使他獲得了博士學位，更將使整個量子理論進入一個新境界。
圖2：用電子作雙縫實驗，結果得到了如通常的波一般的干涉圖樣。從第一張圖到第四張圖，電子越來越多，干涉圖樣也越來越清晰。但值得注意，雖然圖中每一個點表示有一個電子抵達探測屏，但點的離散狀卻並不意味著電子的“粒子性”。此實驗由外村彰（Akira Tonomura）團隊於1988年開展。
1925年6月，剛在哥廷根大學獲得教職的海森堡（Werner Heisenberg，1901-1976）因躲避過敏性鼻炎而前往德國北部的海姑蘭島。在那裡，他一面品味著歌德的抒情詩集《西東詩集》（West-?stlicher Divan），一面通過類比自傅立葉級數的方法，給出了描述量子理論的一個新方案，並找出了其中的關鍵：非對易性（noncommutativity）。在海森堡將他的結果寄給他大學時的老師玻恩（Max Born，1882-1970）後，後者意識到，海森堡的方法事實上就是將矩陣（matrix）的概念引了進來。在此基礎上，當年內，他們就與玻恩的助教約爾旦（Pascual Jordan，1902-1980）一起，發展出了一套用系統化的矩陣語言來描述量子理論的新形式，稱為矩陣力學（matrix mechanics）。
與此同時，正在劍橋攻讀博士學位的狄拉克（Paul Dirac，1902-1984）指出，矩陣力學中的非對易性與分析力學中的泊松括號密切相關。在此基礎上，狄拉克建立起了完整的正則量子化（canonical quantization）手續，並以此獲得了博士學位。
在1925年受邀講述德布羅意關於波粒二象性的論文後，時任蘇黎世大學教授的薛定諤（Erwin Schr?dinger，1887-1961）旋即於當年底到次年初建立了一個非相對論性的波動方程，即著名的薛定諤方程，並於1926年上半年完成了他所謂的波動力學的創建。因為1920年代物理學界對矩陣這一工具尚不熟悉，所以基於波函數（wave function）與偏微分運算的薛定諤方程甫一誕生，便受到了當時物理學家們的熱烈讚賞。同年，在研究了 海森堡等人建立的矩陣力學之後，薛定諤證明了矩陣力學與波動力學的等價性。
至此，在以海森堡與薛定諤等人為主要代表的諸多物理學家的協同努力下，量子理論的內在邏輯與圖景就得以清晰地展現在世人面前；早期量子理論（或叫舊量子理論）終於“躍遷”到了一個新的階段，所謂現代量子力學宣告誕生。
圖3：薛定諤墓碑上鐫刻著以他命字命名的方程。
薛定諤方程剛被提出之時，人們尚不清楚波函數的本質到底是什 麽。 1926 年，玻恩提出了波函數的概率詮釋 （玻恩定則），它宣稱波函數是一種概率波幅，其模方代表粒子出現在某處的概率密度，且其在全空間的積分是歸一化的。1927年，在受聘於玻爾研究所與玻爾合作期間，海森堡提出了不確定性原理（uncertainty principle）；而玻爾把波粒二象性與不確定性原理所反映的精神統歸為互補原理（complementarity principle）。在這些觀念的基礎之上，以玻爾與海森堡等人為代表的物理學家對困擾人們已久的量子力學中的諸多新奇現象與問題，逐漸形成了一套自洽的看法，稱為哥本哈根詮釋 （Copenhagen interpretation）。 其主要包括：
? 體系的量子狀態 （量子態）可以被波函數所完備地描述；
? 玻恩定則；
? 互補原理；
? 對應原理 （correspondence principle）：大尺度系統的量子行為應可近似到經典狀況；
? 測量導致波函數坍縮 （wave function collapse）。
一般而言，哥本哈根詮釋已被當作量子力學的正統詮釋而為人所接受。
圖 4： 在 1947 年獲得丹麥最高榮譽 Order of the Elephant 時，玻爾為自己設計的紋章。 其主體採用了中國傳統的太極圖；上方寫有拉丁文 Contraria sunt Complementa，英譯為 Opposites are Complementary， 漢譯可為相反相成。
有趣的是，作為量子力學的重要創建人，愛因斯坦與薛定諤卻都是哥本哈根詮釋的堅定的反對者，或至少是執著的“挑刺”者。他們與哥本哈根學派之間產生了曠日持久的爭論。其中，EPR佯謬（EPR paradox）與薛定諤的貓（Schr?dinger’s Cat）即他們於1935年分別提出的用以攻擊後者的著名思想實驗 （thought experiment）。不過，同樣有趣的是，這兩個詰難極大地推動了對量子力學中一些基本問題的研究與澄清，最後反倒被證明是哥本哈根詮釋的有力論據。它們之中蘊含的量子糾纏（quantum entanglement）的現象，在今天已得到包括量子通信、量子計算等在內的越來越多的學科的應用。
不過，的確，以波函數坍縮為代表的量子力學中的一些本質問題，事實上仍未有得到完全的解決。諸多不同的詮釋，如其中呼聲最高的平行宇宙詮釋，或叫多世界詮釋（many-worlds interpretation）等，仍被人們為了最終解決這些問題而不斷地研究著。
圖 5：1927年10月於比利時布魯塞爾召開的第五次索爾維會議合影。 此次會議主題為“電子與光子”，是 專門為討論新近建立的量子力學而舉行的。雖然量子力學基本框架得到了廣泛的認同，但就量子力學的詮釋問題，會上的兩位主角愛因斯坦與玻爾產生了激烈的交鋒，這拉開了幾乎持續了數?年的所謂 “玻爾-愛因斯坦論戰” 的序幕。圖中幾乎所有人都對量子力學或現代物理做出了重大貢獻，下面列出他們每一個人的名字，以示崇高的敬意與銘記。每排皆按從左至右排。第3排：奧古斯特·皮卡爾德，亨裡奧特，保羅·埃倫費斯特，愛德華·赫爾岑，西奧費·頓德爾，埃爾溫·薛定諤，維夏菲爾特，沃爾夫岡·泡利，維爾納·海森堡，拉爾夫·福勒，萊昂·布裡淵；第 2 排：彼得·德拜，馬丁·努森，威廉·勞倫斯·布拉格，亨德裡克·克雷默，保羅·狄拉克，阿瑟·康普頓，路易·德布羅意，馬克斯·玻恩，尼爾斯·玻爾；第 1 排：歐文·朗繆爾，馬克斯·普朗克，瑪麗·居裡，亨德裡克·洛倫茲，阿爾伯特·愛因斯坦，保羅·朗之萬，查爾斯·古耶，查爾斯·威耳遜，歐文·理查森。
在對反常塞曼效應的研究中，泡利（Wolfgang Pauli，1900-1958）於 1924年指出，電子應當有一個內稟量子數。在此基礎上，次年他進一步提出了泡利不相容原理（Pauli exclusion principle）；此原理宣稱，不能有兩個或更多個電子處於同樣的量子態。1925年9月，烏倫貝克（George Uhlenbeck，1900-1988）與古德斯米特（Samuel Goudsmit，1902-1978）指出，電子可以具有量值為 s = ?/2 的自旋（spin）角動量，此即為泡利所言之電子內稟量子數之來源。1927年，泡利為自旋態與自旋算符分別引入了二分量旋量（spinor）波函數與3個二維表示矩陣，稱為泡利矩陣，並將它們用在了薛定諤方程之中，從而得到了可以描述電子的非相對論性的運動方程，稱為泡利方程。
至於泡利不相容原理，在泡利與狄拉克分別提出全同粒子（identical particles）這一概念後，可以簡潔漂亮地發現，它是交換後使波函數反對稱的粒子所必然遵循的。而至於為何交換後使其波函數反對稱的粒子偏偏是具有半整數自旋的粒子（稱為費米子），這個問題則要等到量子場論中應用狹義相對論的因果律才能得以說明。
自從愛因斯坦於1905年提出狹義相對論以後，人們自然有理由相信，任何一個高能理論都應當具有相對論協變性。1926年，克萊因（Oskar Klein，1894-1977）與戈登（Walter Gordon，1893-1939）提出了最簡單的相對論性波動方程，稱為克萊因-戈登方程。但因其面臨負能量與負概率的困難，而且也不能正確解釋氫原子中的問題，自提出以後的很長一段時間內，它的真正含義並未能為物理學家所領會。
面對泡利方程與克萊因-戈登方程各自存在的問題，狄拉克於1928年建立起了一個能避免負概率的相對論性方程，即狄拉克方程。此方程強大 的解釋力旋即得到了展現，而且其內在地包含了電子的自旋，?分優美。 於是，狄拉克方程自然成了相對論量子力學（Relativistic Quantum Mechanics）的基本方程。但是，狄拉克方程身上仍然存在著負能量問題。為此，1929年到1931年，狄拉克通過所謂狄拉克海（Dirac Sea）的手段預言了正電子（positron）的存在（並於次年得到證實），從而使反物質（antimatter）這一概念第一次進入了人類思維。
1930年，在他劃時代的集大成之作《量子力學原理》（The Principles of Quantum Mechanics）裡，狄拉克指出
? 量子態是希爾伯特 空間中的矢量；
? 可觀測量（observables）即作用在希爾伯特 空間上的自伴算子 （厄米矩陣，Hermitian matrix）。
以此，狄拉克將海森堡的矩陣力學與薛定諤的波動力學整合到了同一個數學形式之中。同期， 馮·諾伊曼（John von Neumann，1903-1957）亦給出了相似的工作，這反映在他出版於1932年的《量子力學的數學基礎》（Mathematical Foundations of QuantumMechanics）一書中。狄拉克與馮·諾伊曼的工作，共同形成了所謂狄拉克-馮·諾伊曼公理。連同哥本哈根詮釋一起，我們也可將之視為量子力學的公設（postulates of quantum mechanics）。
至此，量子力學這座巍巍大廈，就嚴格地確立了。
3 登峰造極：量子場論，粒子物理標準模型
1925年到1926年間，玻恩、海森堡與約爾旦把電磁場看成是無窮維諧振子（harmonic oscillator），進而通過正則量子化的方法給出了電磁場的量子化。但他們的工作中並沒有把相互作用考慮進來。1927年，史上首次，狄拉克作了有關於電磁相互作用的量子力學計算，並提出了量子電動力學（QED: quantum electrodynamics）一詞。 在此工作中，為將電磁場進行量子化，狄拉克天才地創造了產生湮滅算符（Creation and annihilation operators）的辦法。
1928年到1934年這一時期，約爾旦、維格納（Eugene Wigner，1902-1995）、海森堡、泡利與費米（Enrico Fermi，1901-1954）通過反對易（anticommutativity）的手段——即現在所謂的費米子的約爾旦-維格納量子化——表明，正像量子化以後電磁場的激發態對應不同數目的光子一樣，作為一種實物粒子，電子亦可被視為某種相應的場量子化以後的激發元。這樣，借助於量子作為橋梁，電磁場與實粒物子就都統一到了場（field）這一概念之下。最終，1934年，海森堡將狄拉克方程，以及先前的克萊因-戈登方程，重新闡釋為描述不同粒子的場的運動方程，而非單粒子波函數的運動方程。在這種圖景之下，方程解的所謂負能量問題迎刃而解：它本身就描述了反物質，而完全不須引入狄拉克海這一概念。
1930年以及之後，奧本海默（Julius Oppenheimer，1904-1967）等人指出，在微擾計算中，量子電動力學的高階項會現一些不可避免的無窮大，理論發散。 量子場論由此進入第一次低潮。
時間轉眼來到了二戰後期。在貝特（Hans Bethe，1906-2005）1947年工作的啟發下，施溫格（Julian Schwinger，1918-1994）、費曼（Richard Feynman，1918-1988）、朝永振一郎（Tomonaga，1906-1979）與戴森（Freeman Dyson，1923-）等人於1950年前後建立起了一套系統化地消除量子電動力學中高階發散的手續，稱為重整化 （renormalization）（事實上， Ernst Stueckelberg（斯蒂克爾堡， 瑞士， 1905-1984） 已於 1943 年獨立地建立起了重整化的工作，但未能引起當時物理學界的重視。）。在施以重整化後，QED對電子的反常磁矩、氫原子光譜的精細結構（蘭姆移位，Lamb Shift）等作出的計算與實驗結果的吻合度之高達到了非凡的地步，以至於贏得了 “the jewel of physics” 的美譽。
在建立重整化的過程中，費曼發明了表征各階展開項的圖形化技術，稱為費曼圖（Feynman diagram）。如今，費曼圖已作為一種形象化的物理直覺，深刻融入了理論物理學家的思維之中。與此同時，費曼還給出了量子力學的又一種實現方案：路徑積分表述（path integral formulation）。此理論並不預先要求量子體系必須滿足經典的最小作用量原理（least action principle），而最終卻可以得出與後者相同的結果。 路徑積分的出現，使人們對量子力學本質的理解得到了進一步加深。
圖 6：關於路徑積分的一個詼諧但正確的圖片。
隨著量子電動力學中重整化的勝利，人們很樂觀地相信，量子場論這種思想很快就可以為所有微觀現象提供一個完整的描述框架。然而，隨後人們發現，1）當時描述弱相互作用的費米理論是不可重整化的，2）強相互作用中耦合常數較大（?1），無法做微擾展開；這些與量子場論的基本精神恰是嚴重相違背的。於是，量子場論進入了長達?數年的第二次艱難探索期。
轉機始於來自中國的兩個年輕人。1954年，楊振寧（1922-）與米爾斯（Robert Mills，1927-1999）把定域規範變換（local gauge transformation）由量子電動力學的U(1)阿貝爾情形，推廣到了更高維的非阿貝爾情形，從而建立了非阿貝爾規範理論，又稱為楊-米爾斯（Yang-Mills）理論。日後的發展將表明，
? 規範不變性（gauge invariance）是所有相互作用所皆須遵循的一般原理，而
? 楊-米爾斯理論是它們的共同的表述框架。
1956年，李政道（1926-）與楊振寧共同指出了弱相互作用下宇稱不守恆（parity violation），這直接為電磁相互作用與弱相互作用的統一指出了正確方向。
在以上工作的基礎上，1960年與1964年，格拉肖（Sheldon Glashow，1932-）與薩拉姆（Abdus Salam，1926-1996）分別獨立建立了統一電磁相互作用與弱相互作用的理論。1964年，在南部陽一郎（Yoichiro Nambu，1921-2015）關於自發對稱破缺（spontaneous symmetry breaking）工作的基礎上，希格斯（Peter Higgs，1929-）等人指出，自發對稱破缺可以使楊-米爾斯理論中的中間玻色子（規範場）獲得質量。該理論日後被稱為希格斯機制。1967年，溫伯格（Steven Weinberg，1933-）與薩拉姆把希格斯機制引入電弱理論，從而成功使電弱相互作用中規範玻色子獲得質量。1971年，特·胡夫（Gerard ’t Hooft，1946-）與他的導師韋爾特曼（Martinus Veltman，1931- ）證明了楊-米爾斯 理論的可重整化性。 至此，電弱統一理論（又稱為GSW模型）最終得到完全確立。1973年，由其預言的中性流被實驗發現以後，GSW 模型得到了廣泛的接受。
1964年，在對紛繁複雜的強子的研究中，蓋爾曼（Murray Gell-Mann，1929-）與茨威格（George Zweig，1937-）分別獨立地提出了誇克（quarks）理論。1968年，史丹佛線性加速中心（SLAC）在實驗中確認了上誇克與下誇克的存在。1972 年，弗裡奇（Harald Fritzsch ，1943-）與蓋爾曼等人在楊-米爾斯規範理論的基礎上建立了描述強相互作用的量子色動力學（QCD: quantum chromodynamics）。1973 年，格婁斯（David Gross，1941-）、維爾切克（Frank Wilczek，1951-）以及波利策（Hugh Politzer，1949-）發現了強相互作用的漸進自由（Asymptotic freedom），即重整化後，隨著能量尺度增加，強相互作用耦合常數變小的現象。這就使得微擾展開在 QCD 中的進行成為了可能。
至此，人類目前所知的自然界四種基本相互作用中，除了萬有引力，其余三種皆得到了以楊-米爾斯規範理論為基礎的理論QED、GSW理論、QCD——此即量子場論（QFT: quantum field theory）的主要組成部分——的完備的描述。量子場論對此三種基本相互作用的這種解釋圖景，稱為粒子物理的標準模型 （standard model）。
圖 7：標準模型中的基本粒子及其分類。基本粒子共有62個，計算如下。誇克：6個×3色×2（正反粒 子）= 36；輕子：6個×2（正反粒子）= 12； 規範玻色子： 8 膠子 +1 光子 +1 Z玻色子 +2 W玻色子 =13；希格斯子：1。
4 誰與爭鋒：超越標準模型
儘管取得了卓越的成功，標準模型亦留下了不少未能回答的問題，如質量形成機制、強CP問題、中微子振蕩等等。另外，建立在廣義相對論基礎上的宇宙學標準模型 （ΛCDM 模型），亦給我們提出了幾個亟待解決的重大疑問，如重子不對稱、暗物質（dark matter）、暗能量（dark energy）等。通過威爾金森微波各向異性探測器（WMAP）耗時七年的觀測，人們得出，在宇宙物質總量中，為粒子物理標準模型所描述的常規物質隻佔 4.9%，而暗物質佔到了26.8%，暗能量的份額更是高達 68.3%。
圖 8：宇宙中的暗能量與暗物質遠遠多於常規物質。
我們期待著理論物理學能對這些問題繼續給出合理的回答，於是這就產生了所謂超越標準模型的物理學（BSM: physics beyond standard model）。對此，目前的主流方案是引入超對稱（SUSY: supersymmery）。 引入超對稱的標準模型，又叫超楊-米爾斯（SYM）理論。隨著標準模型最後一塊拚圖希格斯玻色子於 2012 年在 LHC上被發現，人類的下一個目標就是發現超對稱粒子。我國目前正在推動建設的環形正負電子對撞機（CEPC）如果能夠實現這一願景，那將為理論物理學甚至整個人類科學帶來極大的突破。
以上所說的諸多問題，屬於更廣一類的尚未解決的物理學問題 （usoloved problems inphysics）。要解決他們，事實上已涉及到了廣義相對論與量子理論的統一，即量子引力（quantum gravity）這個課題。 目前，我們相信，誕生於1970年代的超弦理論 （superstring theory）是這一任務的最有前景的候選者之一。
作者簡介
項海波，中國人民大學物理系畢業，論文方向為弦氣宇宙模型。現從事黑洞信息，量子引力，以及數學物理等方面的相關研究。
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