文/意見領袖專欄作者 夏春
近期，媒體持續報導香港各大學醫學院對未來確診人數的預測，引起了廣泛的關注。3月14日港大醫學院院長根據模型估計，在2021年12月31日開啟的第五波Omicron變種病毒衝擊下，香港實際感染人數為358萬。同日，中大醫學院一位教授估計第五波最終約有500萬人感染。
到3月22日，香港政府公布第五波疫情確診病例106萬人，港大醫學院院長更新估計，認為感染人數已超過440萬，又預測第六波疫情將在6月初前兩周出現，持續約兩個月，額外感染220萬人。
作為對比，大家應該注意到內地醫學專家很少發布類似的預測。當然這並不代表內地沒有這樣的預測，差距可能來自媒體的報導偏好，也可能香港政府期待更多市民接種疫苗，鼓勵醫學專家發布他們的預測。
確診人數估計引發的爭議
專家預測的數據高於政府數據倒是可以理解，畢竟在目前醫療資源擠兌下，許多自我抗原檢測為陽性的個人並未在政府公共衛生系統上報。
值得一提的是，醫學院在公布預測的點估計數據之外，還包含了95%置信區間的估計，對應358萬人點估計的是230萬至460萬人的區間估計。但媒體通常隻報導點估計，可能是擔心讀者不理解置信區間的含義。
大家自然注意到不僅區間估計的下限要明顯高於已確診病例，而且區間估計的寬度居然高達230萬（460萬-230萬），怎麽看都會覺得這樣的預測不夠精確。
而且，從3月14日到22日才過去8天，點預測的變化就高達82萬，相當於政府確診數據的80%，怎麽看都會產生一種預測不太靠譜的印象。
於是，有趣的一幕發生了，港大統計系系主任忍不住撰文批評港大醫學院的估計，指模型估計過於誇張而且誤差大，可能造成市民不必要的恐慌，增加醫療系統的負擔，結果事與願違。
根據醫學院的區間估計數據，系主任甚至反向推導出完全隨機分布的有效樣本只有大約40人，如此小的樣本量，可信度自然不高。
同時，根據目前香港病毒感染最高危的樓宇（每棟病例均超過40人）檢測數據來看，平均初步陽性比率約為11.6%，遠遠低於港大醫學院模型推算的48%感染率（也就是用358萬點估計除以香港總人口741萬）。
醫學院的區間估計避免了“過度自信”
在心理學和行為金融學裡有一個重要的概念叫做“過度自信”，指的就是大多數人在做預測時，給出的區間估計過於狹窄。這本質上來源於對預測精度的過度自信，用統計術語表達就是，估計的“標準差”太小。
舉例來說，各大券商在年底發布來年上證指數的估計，3500-4200的區間預測要比3650-3950區間的缺乏信心。各種研究都顯示，“過度自信”是投資的主要殺手之一，頻繁買賣就是最典型的體現。
因此，在我看來，醫學院的區間估計這麽寬，恰恰是醫學院對預測模型不太有信心的一種側面體現，從理性角度來看，其實不算是壞事。
為什麽疫情預測模型都很難精確？
據我所知，港大醫學院並未公布預測模型。但如果回溯過去，可以看到2020年疫情爆發以來全球各國醫學專家基於不同模型給出的預測結果，都不是太靠譜。例如港大醫學院在2020年就曾經預測香港會有四分之一的人口感染Covid-19（傳染性低於Omicron變種）。
歸根到底，無論如何建模，疫情預測都離不開一個關鍵參數R0，也就是基本繁殖數，代表一個確診病人可以把病毒平均傳給多少人。如果R0等於3，那麽一個病人傳播10輪後，累計確診就會達到29524人。
但是，指數傳播有一個特點就是結果對參數變化非常敏感。如果R0分別等於2.9和3.1，那麽傳播10輪對應的累計確診就分別是22142和39030人。初始參數高出約7%，結果就會多出76%。而且隨著傳播輪數的增加，結果的差異性會放得更大。
在這個完全不考慮防疫措施的最簡單模型下，指數傳播很快就會超過一個地區的總人數，而所謂“全民免疫”的思想就是建立在R0會隨著已感染人數的增加和未感染人數的減少而逐步減少到小於1。
因此，改進後的模型應該考慮到在單（多）次疫情衝擊下，累計確診隨時間變化的分布應該接近一個單波浪S（多波浪）的形狀。醫學專家也做了這樣的嘗試，把R0之外的疫情影響因素也考慮進來，比如防疫措施的力度，方式，個人行為變量，社會經濟條件包括醫療，住宿，交通等。
但是，變量越多，模型越複雜，結果的“蝴蝶效應”也就更加明顯，失之毫厘，差之千里。僅就Omicron病毒的R0估值來看，雖然一些研究認為在3左右，但是在2和16之間的估計值也同樣存在。這樣，即使基於一個地區的經驗構造出有效模型，換一個地區就可能完全失靈。
也因此，一些嚴肅的專家認為建立這樣的模型價值不高，而且常常會引起適得其反的效果。例如預測誤差太大的研究可能導致市民對“專家”、“精英”的反感，不利於科學知識的傳播。
“蝴蝶效應”同樣存在於證券投資組合模型
確診人數預測模型和證券投資組合模型是風馬牛不相及的，但他們之間卻有一個至關重要但鮮為人知的相似點，那就是對參數的高度敏感性。我相信即使是金融從業人員，也很少知道投資組合理論會和“蝴蝶效應”聯繫在一起。
最簡單的投資組合模型會針對可選擇證券的期望收益率，以及他們之間的反差-協方差矩陣，來構造一個在給定風險下，投資者預期收益率最大，或者在給定收益率下，風險最小的最優組合權重。從數學角度來說，求解這樣一組權重非常簡單。
大家可能會認為權重的敏感性來源於未來的期望收益率難以精準衡量，的確收益率變化大，很不穩定，但其實是相對穩定的證券反差-協方差矩陣的估值對模型結果的影響更大。
歸根結底在於，求解過程中要對多個證券的反差-協方差矩陣求一個逆矩陣。這個過程雖然不涉及到任何類似R0指數遞增帶來的結果變化，但矩陣的細微變化就會帶來一個差異極大的逆矩陣，就導致了最優組合權重的顯著變化。
例如，矩陣中細微的變化，可能會使組合中的個股權重從10%變成30%，或者從做多轉為做空，其他個股也會隨著產生變化。顯而易見，模型的不穩定性為基金經理日常管理投資組合帶來巨大的麻煩。
複雜的模型通常會限制權重（例如個股佔比不能超過10%），限制做空，或者限制波動率，但這些附加條件基本都無法改變組合權重的敏感度。
這個問題從Harry Markowitz1952年創立投資組合理論（1990年獲得諾獎）之後不久就被學者發現，由於早期計算機算力不足，很少有投資機構採用該理論。等到華爾街重視起來，專家們就把精力放在了如何改進基礎理論，使得結果具備穩定性。
這些新的“穩定”模型用到的數學都比較複雜，加上大學教育並不太重視解決實際操作中遇到的難題，因此初級甚至高級教科書都不做介紹。這使得大多數金融系的畢業生和金融從業人員，並不了解教科書重點介紹的基礎模型存在這樣的弊端，很多老師也不願意點破。
大師與天才的解決之道
複雜的“穩定”理論被創造出來，就連華爾街都不太願意嘗試運用。事後也有研究發現，這些複雜模型基本上在FOF（母基金）投資上的效果還比不過最簡單的“天真”模型：只要子基金足夠分散，那麽等權重的母基金的收益率幾乎好於各種複雜模型。
我在喜馬拉雅FM的《經濟學家夏春的投資必修課》詳細介紹了華爾街流行的投資組合模型，例如“巴菲特組合”、“挪威主權基金組合”（重股輕債）、橋水的“全天候組合”（重債輕股）、“耶魯哈佛組合”（重一級輕二級）等等。
這些基於投資大師智慧的方法，幾乎都不涉及數學模型，但都是針對投資組合基礎模型弊端的有效改進。普通投資者容易掌握，可以根據各自的收入結構和風險、流動性偏好來選擇。
但偏好數學的金融學界仍然希望解決基礎模型的“蝴蝶效應”難題，等待多年後，離開學界，就職於高盛的天才Fisher Black與明尼蘇達大學畢業的經濟學博士Robert Litterman另辟蹊徑找到了一個幾乎完美的解決方案。
他們放棄了傳統的以證券反差-協方差矩陣為核心的建模方式，轉而從數值更加穩定的證券beta值入手來重新求解最優組合權重，得到的結果反而是格外穩定的。
這是一個“腦洞大開”的創意，因為證券的beta原本是基礎投資組合理論加上均衡條件（投資需求組合的權重等於各證券在市場上的供給權重）之後產生的新理論CAPM下的一個內生結果，誰也沒有想到，可以用這個beta反向倒推出來一個投資組合權重。
新的Black-Litterman模型不僅數學形式要比絕大多數“穩定”模型更簡單，還有一個此前模型都不具備的優勢：它可以把基金經理對證券未來期望收益率的信心考慮進來（這裡的信心非常類似於前文提到的“置信區間”中的信心）。例如，對一個證券表現好於另外一個的信心是80%。
我猜測，在Black-Litterman模型1992年發表之前，這可能就是高盛資管的獨家秘方；但我更相信的是，與高盛風格格格不入的Black選擇公開模型，是因為他的創新並未獲得重視。
在我看來，Black不僅是天才，而且是金融學界的頭號天才，絕大多數獲得諾獎的經濟學家都只在經濟學的一個分支領域做出了突破性的貢獻，而Black幾乎在金融學的各個領域都做出了突破性的貢獻，只可惜他英年早逝，與諾獎無緣。
應該說，在他1995年去世時，Black-Litterman模型都還沒有在華爾街流行起來。1997年諾獎頒發給期權定價公式時，學界之外的人才首次聽到Black這個名字。而如今偏量化的資管行業，這一模型已經擁有了王者的榮耀，Litterman獲得了至尊的地位。
其實，身處人工智能，金融科技時代的我們，與天才傑作之間的距離很近。如果你聽說過“智能投顧”並且打算嘗試一下，請記住真正基於算法的智能投顧，都是建立在Black-Litterman模型基礎之上的，模型的穩健性不僅可以降低調倉成本，而且可以在長期帶來優於對標指數的收益。
(本文作者介紹：銀科控股首席經濟學家，金融研究院院長)
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