如何培養學生的數感？美國小學這樣做

“數感”的概念在美國小學非常重視。“數感”的英文是Number Sense, 字面意思就是對數字的感知能力。我第一次接觸這個概念，是在一位幼兒園老師的教室聽課時，看到的美國小朋友學數學的情景：

老師不僅告訴孩子這是1，這是2，這是3，還一定會讓孩子通過各種各樣的活動(比如擺玩具，擺數字塔)的形式，來理解數字元號和數量之間的關係。

老師告訴我說：“你別看他們在擺數字，其實他們在一點點地探索數字元號和數量間的關係，而這種“關係”只有通過自己的動手體會，才能變成自己的理解。”後來自己當了老師才知道，這位老師說這種數字間的內在關係就是數感，它是美國從幼兒園到小學2年級的數學教育的重點。那麽什麽是數感呢？

什麽是數感？

美國的百科全書Wikepedia對於數感是這樣定義的: "an intuitive understanding of numbers, their magnitude, relationships, and how they are affected by operations"數感是一種對於數字的直觀理解，包括數字之間的關係，大小以及它們的運算。

數感的建立從哪裡開始？其實，小朋友在幼年時期就有了一定程度的數感。面對眼前的好幾塊蛋糕，孩子選擇了最大的一塊，這是他們對於“多”和“少”的最初認識。本來有5個心愛的玩具，一個不見了，孩子會哭鬧，這是他們對“減法”的初體驗。同樣地，媽媽說“今天晚上要多讀一本書”，小朋友的小腦袋裡在默默做著“加法”。

雖然，幼年時期的數感認知是很淺顯的，但我們卻可以抓住孩子在這個年齡段與生俱來的數字感知能力，指導孩子進行系統的數感訓練。美國的著名數學家John A Van De Walle，在他所著的教科書 《Teaching Student Centered Mathmatics》中就有提到，數感的訓練，從3~5歲開始最佳，要想系統培養，需要搞清楚以下四種數字間的關係，它們是培養數感的基礎：

空間關係

第一種關係就是視覺上的空間關係。試想以下，當一個從沒有接觸過數字的孩子看到數字3和4的時候，他們看到的只是一個像耳朵的3，像紅旗的4，到底3和4代表的是什麽？我們需要用圖像表示出來3和4的數量內涵：

多少的關係

數感建立的第二種關係是能比較兩個數字的大小。如果我們告訴孩子比6多1是7，因為6+1=7，孩子並不能很好地感受。如果有了下面這個很好的圖像輔助“算盤”，小朋友就可以直觀地感受到為什麽6和7，中間多了一個1。

與數字5和10的關係

比如在學習數字9的時候，我會讓孩子把數字圓片擺在這樣的十方格上，因為我們要讓孩子以5和10為基準(benchmark)，來感受數字與其的關係，如9比5多4， 比10少1。

局部與整體的關係

最後，建立數感要從小培養訓練孩子對數字的劃分。比如數字7，有不同的劃分方式：0和7，1和6，2和5等等。這樣的組成也可以用視覺圖像來表示。

熟練掌握數字的整體與局部的關係，讓孩子在運算時能夠遊刃有余的拆分數字，比如在運算8+7的時候，小朋友就能立刻在腦海中吧7拆成2和5，來和8湊成10。

如何培養數感？

既然數感如此重要，那麽我們如何培養孩子的數感呢？數感只能通過學校教育培養嗎？

當然不是！數感的培養從家裡就應該開始。

用數學解決生活中的問題

培養數感的第一步是讓數字變得有意義。在孩子眼裡，數字不再是一個個的抽象符號，而是與他們的生活息息相關的工具。

比如，在學習"倍數相加"的時候，我就和學生們一起做了個“買東西”的活動。我告訴們：”老師要去參加一場派對，我要帶一道沙拉，可是我發現去派對的人很多，我的食材不夠，需要加倍，請小朋友來幫忙！“這下，在小朋友的眼裡，他們不是在做數學，而是用數學來解決生活中的問題啦。

我在班裡模擬了一個沙拉Bar，小朋友用小正方塊，擺出如何讓每個食材加倍。

然後在下面的“水果沙拉Double”練習紙上，小朋友記錄下加法加倍的運算方法。

除此之外，生活中的數學無處不在。比如，班上的Olivia同學就對時間非常敏感，她能很好地判斷做一件事大約花多長時間。小O告訴我，在家裡，媽媽常常讓她來做Time Tracker (計時員)，比如從家到超市，媽媽會讓小O來追蹤時間。久而久之，小O對於時間的長短就能有很好地判斷。

注重過程，而不是結果

培養孩子的數感，要注重運算的過程，而非結果。當小朋友學習2+3=?的時候，我們不急於告訴他答案，而是讓小朋友通過不同的方式，去探索數字背後的意義，到底什麽是2，什麽是3，為什麽2+3=5？

當問孩子什麽是17的時候，我們希望Ta能用不同的方式來表示，可以用計數符號、十方格、手指、還有骰子。

在比較大小時，不是告訴孩子6>2，而是讓孩子用數字塔把數字給擺出來。這個過程看起來有些“多此一舉”，但其實在擺放的過程中，孩子在不斷內化對數字大小的感受。

豐富的數感小活動

為什麽這麽多的數學教具呢？因為美國老師全靠它們來上數學課，這些教具是幫助孩子建立“數感”的最大助力。

用樂高將數字排序：小朋友一邊數數，一邊感受數字的順序和大小。換句話說，樂高塔越高，代表的數字越大。

用"百數表"建立數感。很多美國老師會把百數表掛在教室，讓孩子熟悉數字間的關係。無論多1， 還是少1，多10，還是少10，都可以用百數表輕鬆找到。

同一個數字，不同方式來表示。這種方法讓孩子了解每個數字背後的意義，數字不只是一個書寫符號，而是用來計數的工具。

用位值(Place Value)來表示數字：把數字每10個分成一組，15就是一組10和5個1。用位值來表示，小朋友能深入理解兩位數中的個位和十位的關係，這為今後學習進位和借位打好基礎。

用珠子算盤劃分數字：把數字劃分，鍛煉孩子對“整體”和”部分“的理解。這裡有個美式算盤，小朋友通過移動珠子，把數字7分成了不同的部分。

最妙的是，這個算盤也可以DIY。小朋友只要拿一個硬紙板、20個手工珠子和一條結實的線，就能做出。小朋友一邊玩算盤，一邊發現了個重要規律：2+3=3+2，這不就是我們學的加法交換律嘛！

迅速識別數字。

數感訓練的一個重要方面是能迅速識別出少量數量的能力。舉個例子，在下圖第一排中，我們一眼就能看出每個方框裡有多少黑點，這是數感作用的結果。然而，第二排就很難一眼看出，如果硬要用眼睛看，可能只能看個大概。

為了培養孩子“一眼就看出”的數感，老師從一年級開始，就訓練孩子識別骰子上數字的能力。老師沒有讓他們做加法，而是把骰子上的陣列成了一個兩位數：

估算：曾和學生做過這樣一個活動：準備裝有100個玻璃球的瓶子，讓小朋友猜猜有多少個。這時候大家的答案不一，相差很大。

接著，我會抓一把玻璃球握在手裡，讓小朋友再猜猜有幾個，最後通過數數證明有9個。這時，再抓一把提問：會不會有20多個？小朋友紛紛搖頭：“不會，因為剛才那一把只有9個”。

這樣抓了幾次之後，小朋友就會明白抓一把大概是10個左右，從而建立起一個比較穩定的“一把大概抓多少個”的直觀感覺。這是數感的另外一種形式。

數感---這概念聽起來容易，卻常常被忽略，因為我們大人常常將它習以為常，卻忘記了孩子眼中的數字，有著不一樣的精彩。如果有時間，別忘了陪孩子做一做遊戲，或者用數學來解決生活中的問題，這種靈活的、直觀的、傾心投入的方式，會是培養孩子數感的最佳方法。