這麽簡單的數學題，為什麽孩子怎麽都教不會？

作者：趙晴

來源：成長合作社

以下的提問，來自一個自信快樂的一年級小女生的媽媽。

娃一年級下了，學到了100以內加減法運算。隨之，最近產生了一種情景數學題：A給了B 8顆糖，給完後AB的糖一樣多，問~給糖之前，A的糖比B多了多少顆？

我先按事件時間軸倒敘法，教娃往回推，理解不了；後來拿出了一堆核桃，一對一擺兩排，直觀地擺來擺去，還是有點懵；

再後來，我把題中的數字改為到1、2，孩子似乎理解了。但是，換個5以上的大數字，或者換個問法，孩子又懵了。

我的想法和疑問是：不是孩子笨，而是7歲出頭的孩子的抽象思維跟不上，所以她沒法從這個情景中提煉出規律來。是麽？

嗯，是的。孩子不笨。題目有問題。

題目難在哪兒？

這題，其實還真挺難的。先是A和B兩個字母就看著扎眼睛：什麽什麽嘛，張小明李小紅都哪兒去了？

更重要的，難就難在題目中A和B的糖的數量可以是任何自然數，恆定的只是他們之間的差異。這個，估計讓很多小屁孩兒都感覺百爪撓心，一萬種不舒服。當然啦，成年人管這種不舒服叫逆向思維。

小孩讀這道題是什麽感受？ 來，我給你們翻譯一下：

一個黑洞給了另一個黑洞8顆糖，然後兩個黑洞就一樣大了，然後大黑洞比小黑洞大多少呢，然後就好多好多黑洞洞….

我還特地畫了個非常不精確的示意圖，可以發揮想象力感受一下。

對於小孩來說，他們特別習慣於 “張小明有20塊糖，李小紅有4塊糖，張小明給了李小紅8塊糖之後，兩個人各自還有幾塊糖啊？” 行為檢點的應用題不都應該是這樣的麽？

所以啊，敲黑板總結一下難點:

1. 字面上，“A”和“B”的說法很可能增加了孩子的認知負荷，換成具體人名字會更好 （關於認知負荷，看這篇）。

2. 數量A和B本身具有不確定性，這一點對於還在理解數字和數量的對應關係的孩子來說（關於數字和數量的對應關係，看這裡）是有困難的，這應該是這道題最大的難點。

3. 當數量A和B不確定的時候，它們之間的差異（difference）卻是確定的, 這其中其實已經體現出了代數的思維。

有這樣幾種家長

當你把A和B分別冠名，成了張小明李小紅之後，孩子仍然一臉懵圈，這個時候你還應該做些什麽呢？

第一類家長：用核桃！

先表揚這些家長！用具體實物幫助孩子學數學的重要性那是大的很。核桃，花生，瓜子兒，大米都行，擺來擺去也沒問題，但是別忘了，孩子心理總是過不去那個坎兒--張小明和李小紅, 他們每個人到底有多少顆糖啊！

所以這個時候，你不妨給出固定數量，幫孩子填上那個巨大的黑洞：

比如張小明有18顆糖，給了李小紅8塊，然後倆人糖就一樣多了，這時候張小明和李小紅應該各自有多少糖？那麽李小紅原先應該有多少顆糖？

再比如張小明有20顆糖，這回呢？

再再比如，張小明發財了，他這次有30顆糖，這回呢？

然後，就到了我們去發現規律的時間…

問問孩子，每一種情況，張小明都比李小紅多了多少塊糖？這個數字會一直是16麽？為什麽？

通過上面的比如，再比如，再再比如中的具體數字代入之後，能不能完成從具體到抽象的升華，全靠這一問了。

第二類家長：畫圖

畫圖的確是個好辦法，但是在你動筆之前，你確定你想清楚了這圖該怎麽畫？

比如，A和B是畫成圓圈呢，還是畫成線段？或者你也在懵圈中：A和B的數量不是不確定麽，這圖能畫麽？

如果你畫圖的目的是想幫助小屁孩撥雲現日，那這張圖至少要滿足兩點要求：

1. 能夠把題目中的數量關係簡化；

2. 孩子要能夠認可你的這種畫圖方式；換句話說，你為什麽畫圓圈，或者為什麽畫線段，圓圈或者線段又怎麽能代表糖塊？這些，你必須取得小屁孩兒的首肯，不然圖畫了白畫

所以，請你想想看，張小明李小紅分糖豆兒這個圖你打算怎麽畫？

有關數量的比較，我的建議是，線段是個好方法。比如下圖，連張小明和李小紅分別用什麽顏色表示都需要小心點（不是嚇唬人，這個完全從符號學的角度說）。當然，如果你找到更好的圖解方式，也別忘了分享給我們。

至於那些上來就列方程 X－8=Y+8，所以X-Y＝16的家長，請你務必學會控記裡記幾。

孩子的大腦CPU可還安好？

皮亞傑，當代著名的兒童發展心理學家，把兒童的天然認知過程分成了4個階段。

簡單粗暴的說來，這就是孩子大腦的CPU從組裝到出廠的4個階段：

1、感知運動階段（Sensorimotor Stage） 0-2歲：

在這個階段，小屁孩主要通過感官，包括聽覺、視覺、觸覺和味覺來感受世界。他們對這個世界的理解完全依賴於他們和周圍環境的互動。

這個階段，屁孩兒開始明白物體恆在（object permanence），即使絨布兔子被藏在了門後面，他們也開始知道，兔子還在，世界還沒有毀滅。

漸漸的，小屁孩兒的行為目的性會越來越強。

提示：按此說法，所謂的terrible 2 (可怕的2歲) 就是小屁孩企圖用自己的行為開始有目的的來左右這個世界咯，刺探爹媽的底線。

2、前運算階段（Preoperational Stage）2-7歲：

在這個階段的兒童能夠感知圖像和語言了，但是他們更傾向於直覺而不是邏輯思考。這個階段的屁孩兒的思考模式基本就是那首歌，“跟著感覺走”（請抓住夢的手～）...

一個著名的例子是，皮亞傑和兒子散步的時候看見一個蝸牛，走著走著又看見一個，他的兒子直接判斷這兩個蝸牛是同一個。

這個階段的後期，孩子開始有了直覺思考，他們開始建立一些判斷邏輯，儘管這種邏輯錯的一塌糊塗。皮亞傑最有名的實驗之一就是這個階段的屁孩兒對物體守恆（conservation）概念的理解。

如果你在屁孩兒面前放兩個形狀不同的杯子，一個胖矮，一個細高，然後把同樣多的液體倒入兩個杯子中，問屁孩兒哪個杯子中的水多？他們直指那個細高的。

皮亞傑說，物質守恆沒法教，只能通過孩子不斷的自己積累經驗，不斷的去和周圍的世界互動中慢慢體會到。

值得注意的是，這個階段的孩子還不具備反向思維能力（reversability）, 這個的意思是，孩子還不能反著想問題，回到問題的起點。

敲黑板，兩個黑洞分糖果的問題就需要這個思維能力你不覺得麽？

3、具體運算階段（Concrete Operations Stage）7-11歲：

這個階段的小屁孩兒不僅掌握了物體守恆的概念，而且能頭頭是道的講給你聽為什麽A＝B。他們的邏輯思考能力開始形成，初步具有了算數的能力 。他們開始可以對同一件東西做出多重分析，比如，蘋果既是蘋果，也是水果，也可以算是一件東西。同時，他們可以開始換位思考，世界不再僅僅是由他們單一的感受組成的。

4、形式運算階段（Formal Operational Stage）從12歲及以上：

終於，屁孩兒們能夠開始理解抽象的事物並且越來越有邏輯了 。這個階段的另一個重要發展是反身抽象能力（reflective abstraction）, 這對邏輯數學能力的發展至關重要。

比如類比兩個事物，提取他們的某種關係並且進行比較。屁孩兒成長為小小少年，開始可以對自己的行為進行思考，提煉並且抽象化。

對號入座，你會發現什麽呢？

分糖果的這個題目，要動用反向思維能力（一年級的小屁孩兒還不見得有哦），以及一定程度上需要反式抽象能力（提煉出A和B的糖果之間的關係）。這不僅僅是數學和數（3聲）數（4聲）的能力，更是認知能力的考驗。

對於小學一年級還在組裝中的CPU來說，運算任務有點重你不覺得麽？

這也是為什麽，如果一年級的小朋友卡在這個題目上，我基本不會擔心是CPU出了問題－－這僅僅說明CPU還沒到達出廠狀態。

把具體數字代入，把步驟幫小朋友重新梳理一下，或是畫個圖，都可以幫助他們把這個分糖果的過程變得更具體，更容易理解。

必須說明一點：不是所有的孩子都得按照皮亞傑給出的年齡劃分組裝CPU。

你們送孩子去上那麽多的輔導班，也不能都是白上的呀！認知標誌年齡的提前是有可能的，但是過早的給孩子超出他們認知階段的題目，並不見得是好事。還有，有意思的是，很少見到家長因為孩子語文或者英語題做錯了就懷疑孩子腦子不聰明的，為啥數學題就會呢？智商和數學題沒這麽簡單直接的關聯，我們都放寬心，慢慢來。

孩子喜不喜歡數學，說到底，跟他們的學數學&做數學題的時候的體驗密不可分。

最後，考考你，這個題目你打算怎麽講給小屁孩兒？

這同樣是個不合時宜的一年級題目。

商店進了一批電視機，第一天賣掉一半，第二天賣了8台，還剩12台。請問，商店一共進了多少台電視機。

參考文獻:

1.Piaget, J. (1968). Six psychological studies. New York: Vintage Books.

2.Piaget, J. (2001). Studies in reflecting abstraction (R. L. Campbell, Trans.). New York: Psychology Press.