文｜腦極體
為了挽救在“拋家棄子”邊緣瘋狂試探的家長們，不少K12教育平台與時俱進，相繼將人工智能加入了數學輔導豪華服務套餐。
在各種新聞中，AI數學老師的畫風往往是這樣的：
羞辱學渣——隻用10分鐘作答2017高考數學全國II卷，拿下100分（總分150分）， “蒙題”都沒這麽快；
碾壓學霸——在日本的大學入學標準考試、SAT等各國“高考”中拿到了超過平均分的成績，向狀元挺近；
取代人類教師——可以依據人為輸入的打分條件，對照答案，在瞬間判斷正誤。效率比人類判卷老師高出好幾個指數級不說，失誤率也更低。
想必令不少家長都心動了吧。在這裡，我們要掃興地說出一個真相——即使是目前最先進的人工智能系統，數學水準恐怕連高中生都比不上。
DeepMind親自打臉：AI是個數學渣？
這年頭，靠AI判卷打分已經不是什麽新鮮事了，給張標準答案小學生都能乾。但靠AI教做數學題，就很有技術含量了，考驗的則是閱讀、推理、計算、邏輯等等綜合能力，最起碼也得是個“新西方”名師上陣吧。
如果用後者的課時費，請小學生來幫輔導作業，顯然大家都會認為是開玩笑。但要是把小學生換成AI，反而令家長們“不明覺厲”喜掏腰包了。
不過，DeepMind的最新研究結果表明，即使是目前最先進的AI系統，做起數學題來連普通高中生都比不過，是不是有點幻滅？
事情是這樣的，DeepMind參考英國16歲學齡兒童的數學考試，為AI（深度神經網絡）打造了一個包含200萬道題目的題庫，涵蓋了算術、代數、概率、微積分等各種題型，並派出了循環神經網絡 (RNN) 和Transformer兩位當下性能最先進的模型參與測試。
結果發現，除了四舍五入、加減法、比較大小、數字排序等等簡單問題之外，在一些涉及因式分解、混合計算之類的高級題目上，AI的表現都不如人類高中生，連及格線都沒達到。
到底怎回事，看看它們是怎麽做題的就知道了。
LSTM和Transformer架構都包含一個編碼器和解碼器。不過在具體運算邏輯上，LSTM會將問題編碼為一系列由鍵和數值代表的具體位置（41+132），然後解碼器將下一個字元預測並映射出來（173）。
由於有注意力機制的參與，LSTM能夠預先處理一些邏輯上需要先完成的對象，比如知道在計算8 /（1 + 3）時，應該先算出（1 + 3），這已經有點接近人類進行運算時的推理步驟了。
Transformer的不同之處在於，它的編碼器能夠把數學題轉換成一個長度相同的序列， 然後通過注意力機制與位置完全連接的層嵌入任意數學表達式，然後進行轉換。
這樣做的好處是，Transformer能夠使用相同數量的參數進行更多的計算（改變嵌入函數就可以了），同時擁有了連續的“內部記憶”，在處理包含多層級、關聯性的混合運算時更有優勢，能夠在更長的序列上給出正確答案。
計算方式搞清楚了，那麽兩位模型的最終成績如何呢？
答案是，非常慘。Transformer模型隻答對了14/40個問題，也就相當於E級水準。相比之下LSTM的分數就更慘不忍睹了，放在人類學生身上絕對是要被叫家長的節奏。
（圖為各個模型處理的參數規模和平均正確率）
AI學數學，到底難在哪兒？
一度在計算能力、決策效率上被AI按在地板上摩擦的人類，總算在數學上挽尊了，DeepMind可算也打臉一次AI了。不過，沾沾自喜不是重點，重點是如果要為AI建立一本數學錯題集的話，這次實驗究竟有哪些值得被記住和補上的短板：
其一是記性太差。
儘管研究人員引入了LTSM和transformer，這是兩個在處理機器翻譯等序列問題時表現優異的拳頭選手，但依然抵不住數學問題的複雜性和語言多樣性的壓力。在一些需要中間值計算的模塊中，比如因式分解、多項式函數等等，系統在進行“思考”時記憶力明顯不夠用，符號的遷移性和知識的擴展性也因此大受影響，直接影響了結果的準確性。
比如Transformer在計算單純的加減法或乘除法時，準確率高達90%，一旦加減乘除混合在一起，它就有點搞不清先後順序了，正確率就下降到只有50%。這表現連計算機都比不上，說明一旦要拚記性、背函數，機器就比不上人類了。
另外，有算力，沒知識。
人類在解決數學問題時，應用到的不只有計算能力，還有各種各樣的認知技能。比如理解題乾，需要將文字或圖標轉換為算術運算符；確定解題思路，需要進行推理，從已知的公理中找到最佳策略；具體的運算過程中，必須利用工作記憶來完成運算；保持成績的穩定性，就需要將已學到的知識和規則遷移到同一類型的問題中去……
顯然，神經網絡還沒有辦法在“舉一反三”的能力上與人類一較高下，它只能處理一些內部存儲的問題，無法超越已有的環境去理解新的東西。具體到各個實驗項目中， 知識遷移能力越強的模型，在統一數據集上的數學成績也就越好。
這些短板歸根結底，是由數學問題和工程效率的矛盾所導致的。
數學的本質是演繹證明，往往需要架設問題並根據已知抽象出新概念，根據需要提出新的公理體系。這是一個基於推斷的極其複雜的“規則遊戲”。
而機器的計算模式則是遍歷型、經驗型的，即通過大規模數據來窮盡所有可能。
用DeepMind研究人員的話來說，數學包含了一個“自洽的宇宙”（self-consistent universe），“簡單的AI系統”想要挑戰數學命題，顯然不太可能。
以“博雷爾-確定性”（Borel-determinacy）為例，雖然只是一個二階算術命題，但其證明卻需要用到無窮階的算術。想要解決此類問題，就必須把AI系統設計得足夠寬泛，以至於能包容絕大部分數學運算。這時的規則量級與複雜性，就不是圍棋這種程度可比的了，而可能是在1T個2^中尋找一個最優決策。這時候AI的對手就不是數學，而是資源、金錢與時間了。
AI解題：到底應該懷抱怎樣的理想期待
說了這麽多，用數學水準作為AI的“智商鑒定器”顯然有失偏頗，AI也不可能幫助人類解決那些數學領域的未解之謎。既然如此，讓AI學數學的意義到底是什麽？或許我們必須重新理解二者的關係。
從當前背景來看，提高AI的數學能力大概有兩方面的積極作用：
一個是技術層面的，人工智能本質上就是一個將數學、算法和工程實踐緊密結合的領域，對數學的探索有利於推動AI技術的全面進步。
舉個例子，早在1964年，就有科學家試圖讓計算機做數學題了，當時提出的STUDENT（Bobrow 1964）系統，就是輸入一段規定好描述方式的數學題，然後把自然語言（linguistic form）通過模式匹配映射到對應的函數關係表達。就像把“籠子裡有一隻雞和一隻兔，問籠子裡一共有幾只動物”轉換成“1+1=？”。這說明，數學要取得好成績，先得自然語言閱讀理解能力過關。
舉個例子，就因為沒有辦法將複雜的題目轉換成規範化的數學語言，國立情報學研究所不得不在2016年放棄讓人工智能系統Torobo-kun參加東京大學入學考試，2017年中國的“高考機器人” (863計劃中的類人智能項目)在對戰真人（43名高三文科班學生）時，也以低於人類平均分的成績落敗。
除了文字題乾之外，有的題目還會涉及語音識別、圖像識別（看圖解題）等技術能力。換句話說，想要搞定數學題， 語文課、邏輯課，一科都不能偏！
另一個可能受益的則是社會層面的，針對數學的研究成果，能夠有效提升各個人工智能系統在理科解題上的弱勢，直接提高知識引擎的性能與效率。
尤其是現在包括綜合搜索、XX搜題等在內的各類知識問答平台，已經成為為人們答疑解惑的主要工具。數學解題系統更成了K12教育爭先恐後推出的“殺手鐧”。但想要提供高品質的數學搜索服務，比如輸入數學題，就能精準還原出數學模型、解題步驟以及答案，並不是一件簡單的事。
前面我們也說過，數學問題並不僅僅隻考驗計算能力，還涉及泛化知識庫的大量規則，比下圍棋的黑白子規則可複雜多了，有時還要面對價值觀、意識形態、藝術等很多不可量化的東西。平台們預先內置的數學知識模型在越來越數字化的學習方式面前，搜不到、不匹配、答案“略”，甚至直接用習題冊答案湊數的情況，也已經屢見不鮮。
更有甚至，一旦用戶輸入的問題不符合預定義的模式匹配規則，可能機器就會開始“誤人子弟”瞎答了。
如果解題類應用的數學水準始終在及格方面徘徊，連看懂題和正確率都無法保證，還怎麽能指望AI系統從學生們的答卷中分析出失分原因並指導其進一步學習呢呢？？所謂的靠它降低學習門檻、實現教育普惠和公平，顯然也只能停留在幻想層面。
提升AI模型的數學能力，進而增強搜題模型的整體性能，對於眾多互聯網教育平台和家長考生們來說，意義自然是重大的。
同時，數學本身也是學習（包括機器學習）的起點。
儘管大多數數學問題無法直接被應用，但在尋求驗證和推理的過程中，往往會誕生的更強大的推理模型，為更高的機器智能打下堅實的基礎。
舉個例子，MIT 於2014年在ACL上提出了一種基於統計學習的方法KAZB，根據公式的標注把數學題歸類成不同的題型，抽取題目中不同層次的特徵，來自動判斷題型。
該方法的缺點則是系統沒有辦法識別出訓練集之外的題型。為了解決這個問題， 百度和微軟的研究團隊分別進行了優化和改進，實現了10%左右的性能提升。
換句話說，提高神經網絡的數學能力，雖然不是全部，但卻能夠為機器推理能力打下堅實的基礎。這就像人類小孩學習“雞兔同籠”一樣，不是真的為了方便在成年後數清楚雞和兔子，而是在這個過程中逐漸學會用一種新的思維模式去理解和認知世界。
或許等到那一天，我們需要擔心的就不是機器會做錯題，而是人類將無題可做了……
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