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好兒郎用拓撲玩鈹

拓撲世界

走馬人生未幾何

高峰壑谷錦芳多

鋪開拓撲尋深處

峻嶮平凡盡是歌

1.引子

歷史長河中,人類有很多偉大的科學發現與技術創造。編者以為,門捷列夫的《元素周期表》就可算一偉大的發現創造,且屬雙星閃耀。有此表在手,我們以為就可以中軍點檢大地山水了,而很多學者亦為改進和填充此表隻爭朝夕。事實上,《元素周期表》中的每一個元素,都有其來龍去脈和前世今生。每一個元素,都可以成為我們或咀嚼不盡或茶余飯後的對象。那些歷史和內涵都是科學最好的表達與精神。

當然,我們更可以圍繞每一個元素調侃和評頭論足,那也是科學的樂趣和科普的味道。大約十八年前,編者有過一番關於元素矽(Si)的謬論:

這個非晶SiO2對其它絕緣層,就象Si對其它半導體一樣,那是個沒法說的寶貝。而Si在當今信息社會中之所以能夠成為沒有亞軍的冠軍小姐,就是因為後面有這個SiO2作男朋友。否則,GaAs早就是冠軍小姐了。也就是說,目前沒有第二種絕緣材料能夠代替非晶SiO2,主要是介電、漏電、穩定性等等問題配合得天衣無縫。所以,我們現在大搞high-k dielectrics,看看吧,搞出了比SiO2更漂亮的沒有?沒有!!!!!!!!唉。

問題是SiO2總是要老的,人老珠黃啊。在她減肥到1 ~2 nm薄時,量子力學說:我看透你了!

那時候的編者,不知天高地厚,言辭卻之不恭,令人臉紅。不過,劉嘉希和王磊兩位年輕作者,卻有另外一番針對元素鈹(Be)的說辭,那卻是本文編者早前的淺薄言語所不能比擬的。

好,編者按下不表,且聽劉、王二位如何玩

2.奇妙的鈹

說到金屬鈹,讀者們可能並不陌生。它是元素周期表中的第4位元素,原子量為9,是最輕的元素之一。然而,您可能未必非常了解金屬鈹背後的故事。

金屬鈹的發現要追溯到1798年。法國礦物學者赫羽依(R. J. René Just Haüy)發現綠寶石與綠柱石(圖1)的光學屬性幾乎一樣。於是,他要求路易·尼克拉·沃克蘭(Louis Nicolas Vauquelin)對它們做一些化學分析。Vauquelin證實這兩種物質均包含一種新元素。如您所料,這一新元素就是後來元素周期表中的Beryllium (鈹,元素符號Be)。

然而,這並不是它最初的名字。最開始這種新元素被稱為‘glucinium’,可以理解為“甜素”之意,乃源於含有這種新元素的鹽類物質嘗起來有些甜味之故。直到1828年,德國科學家弗裡德裡希·維勒(Friedrich Wöhler)提純了這種新元素,才將它命名為Beryllium (鈹) [1]。

圖1.綠寶石和綠柱石,其中均含有鈹元素(化學式:Be3Al2(SiO3)6)。[圖片源自網絡]

鈹是一種奇妙的元素,不只是奇妙在它的甜味上,還奇妙在它奇異的物理化學性質和工業應用中。上世紀20年代,人們發現,2%鈹含量的鈹銅(BeCu)合金之強度可達到純銅的6倍。這一合金還能應用到高溫、高硬度、高耐腐蝕性環境中,並且在撞擊時不產生火花,還沒有任何磁性。使用這種合金製成的彈簧甚至可以實現無限次壓縮,製成的防爆錘廣泛應用於煉油廠或一些需要特別防火防爆的工廠。

隨後,鈹在核反應中的應用也被陸續發現。用α射線轟擊鈹金屬,致使鈹原子核瓦解,釋放出大量中子。這一現象給很多物理人撿了很多便宜。例如,1930年初,詹姆士·查德威克(James Chadwick)領導的團隊正是利用這一反應發現了中子,並買了去斯德哥爾摩的火車票。鈹粉末和鐳鹽的混合物,每秒可產生幾十萬個中子,而中子又是轟擊原子核使其發生裂變的最好“炮彈”。意大利人恩利克·費米(Enrico Fermi),就是利用鐳-鈹源發現了鈾裂變的科學事實。這一結果成為後來製造原子彈的實驗根源之一(理論根源,坊間流傳是愛因斯坦那個大大的E = mc2) [1, 2]。

事實上,鈹本身就可製成簡單的中子源,無須諱言中子源在核電站啟動、核武器起爆、機械及地質勘測以及腫瘤治療中都會發揮巨大的作用。鈹還是優越的中子反射材料。中子打到鈹上,會被反射回去。這樣既能防止中子泄漏,又可避免中子損失,從而提高反應堆效率。鈹還對X射線完全透明,可被用於X射線管這類應用材料的“光窗”。除此之外,鈹還廣泛應用於航空發動機、精密儀器、電子繼電器、開關和相機快門等相關工業領域。總而言之,說鈹也是“罄竹難書”,並不為過。

儘管鈹有很多奇妙的性質和重要的工業應用,但是它有一個顯著的缺點,便是有毒。無論是單質鈹,還是鈹的化合物,都有很強的毒性。鈹中毒還是不可逆的,以肺纖維化、肝、脾、腎、骨骼損傷為主。吸入、接觸、食入都會導致急性或慢性中毒。所以,日常生活中我們都一定要嚴格隔離鈹。可能也正因為如此,對鈹的研究還是多少受到一些阻礙,從而給了後來大無畏者機會。

雖然鈹的各項應用與研究已經非常深入而廣泛,但對它的理解還有一些歷史謎團沒有揭開。上世紀80年代中期,人們使用同步異塵餘生對鈹的(0001)表面電子結構進行了角分辨光電子能譜測量,發現其表面態與其它金屬的表面態大為不同,嚴重偏離近自由電子模型[3]。接下來幾年的研究中,人們不斷地證實這一謎題確實存在,但對其根源的解釋依舊是一頭霧水。

一波未平,一波又起。1997年,人們利用掃描隧道顯微鏡在其表面觀察到大幅度電子密度振蕩,表現為反常的弗裡德爾振蕩[4]。這使得原本神奇的鈹金屬又披上了一層神秘的面紗。接二又連三,上個世紀末,對鈹表面的高分辨率角分辨光電子能譜測量,揭示出由於與表面聲子模式耦合,費米波矢附近的光譜顯示出一個很強的準粒子峰,導致表面出現巨大的電-聲耦合反常增強效應[5],再一次給這種看似簡單的金屬增添了另一個科學謎題。

在過去的幾十年裡,對鈹的這些奇異性質的探索從未停止,並且引發了長期爭論。早期有理論認為,鈹表面的特殊現象與其巨大的原子弛豫有關[6],但接下來的工作表明這種理論並不合理,與諸多實驗及其他理論結果相矛盾。鈹的特殊性質之根源依然是困擾物理人的難題。

最近,拓撲物理的進展,為揭開金屬鈹的這些奇妙反常現象提供了鑰匙。本文基於沈陽材料科學國家研究中心最近的兩項姊妹篇工作,初步揭示了金屬鈹物理性質的若乾謎團。這兩篇工作最近分別發表於《Phys. Rev. Lett.》上[7, 8]。承蒙讀者錯愛,可分別訪問:

(1) https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.117.096401

(2) https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.123.136802

禦覽一二。

3.拓撲與拓撲節線半金屬

時間回到1994年。當時正在橡樹嶺國家實驗室工作的沃德·普盧默(E. W. Plummer)發表了一篇有關鈹金屬表面性質的綜述論文[9]。文中他用了兩個詞“remarkable”和“disappointing”來表達有關鈹表面性質的問題。首先,他感到吃驚的是基於量子機制的第一性原理計算對鈹一些性質的計算結果很好地與實驗一致。其次,他發現對這些性質的物理起源卻存在很多爭論,一直沒有一致的答案,並為此深感失望。自E. W. Plummer發表該綜述文章開始,時光逝去又二十餘年,對金屬鈹表面性質的理解才逐步浮出水面,使得我們相信真相就在眼前。

當然了,故事還得從拓撲開始,就好像說“拓撲是宣傳隊、播種機,是革命的觀念”!

說到拓撲學,不得不先提到扭結理論。《易經》有載:“上古結繩而治,後世聖人易之已書契”。幾千年以前,古人就有以繩結記事的習慣。如今,我們則利用時空扭結的拓撲不變量來刻畫不同種類的粒子。文小剛在其“問世間結為何物”一文中曾寫道:“如果我們有兩團自相纏繞的繩圈(數學上也叫扭結),它們能不能通過連續變形變到另外一個?注意,這裡可不能像亞歷山大大帝那樣用劍把繩子砍斷後再把他們接起來”。

圖2.三組拓撲等價的物品。[圖片源自網絡]

文小剛所說的問題是一個十分有趣的數學問題,解決方法就是找到一個巧妙的算法:當扭結連續變形時,這個數必須保持不變,這個數就是扭結的拓撲不變量。一直到1984年紐西蘭數學家沃恩·瓊斯(Vaughan Frederick Randal Jones)發現瓊斯多項式後,這個不變量的問題才被解決。瓊斯也據此將一項菲爾茲獎收入囊中。形象地說,如圖2所示,在不撕裂和重新粘合的情況下,通過連續變形,可以將A變成B。既然如此,我們說拓撲學上A和B就是同一個東西。

注意到,物理人尤金·維格納(Eugene Paul Wigner)在《數學在自然科學中不合理的有效性》[10]一文中寫道:“數學語言在表述物理定律時所表現出來的適當性是一個奇跡、一個我們既不理解也不應得的奇妙天賜”。數學中的拓撲學,對物理來說,就是這樣一個神奇的天賜。1982年,華盛頓大學物理系的戴維·索利斯(David Thouless)等人,將數學中的拓撲概念與電子波函數的“相位”聯繫起來[11],對電子波函數進行拓撲性質的分類,成功解釋了整數量子霍爾效應。這是物理學史上首次將拓撲概念引入凝聚態物理中。不過,索利斯並未由此一下子聲名顯赫,他依然優雅地教他的書、做他的研究。而拓撲的研究也不過是星星之火,很長時間未能燎原。

2007年,第一個二維拓撲絕緣體材料出現,拓撲凝聚態才在理論和實驗上進入迅猛發展期。可謂是“舊時王謝堂前燕,飛入尋常百姓家”,也才有戴維·索利斯(David Thouless)、鄧肯·霍爾丹(Duncan Haldane)和邁克爾·科斯特利茨(Michael Kosterlitz) 2016年分享諾貝爾物理學獎,頒獎詞是:理論研究發現了物質的拓撲相變和拓撲相。

好的東西,總是如此惜字如金,卻字字千鈞!我們需要閱讀一些科普,以釋放這重量。

晶體材料,按照電子結構不同,可劃分為金屬和絕緣體兩大類。電子在填充能帶過程中,如果在費米能級附近形成能隙,那就是絕緣體或者半導體;如果產生部分佔據的能帶結構,則是金屬。因為拓撲的引入,絕緣體又可進一步分為一般絕緣體和拓撲絕緣體;金屬也分為一般金屬和拓撲金屬。事實上,2005年,查爾斯·凱恩(Charles Kane)和尤金·邁樂(Eugene Mele)在石墨烯中預測了量子自旋霍爾效應[12]。自此以來,拓撲絕緣體、拓撲半金屬和拓撲超導體等拓撲材料吸引著大家的興趣。隨著拓撲材料研究的深入,根據對稱性、能帶簡並以及動量空間中的連接方式等,可對拓撲材料進行更細致的分類。其中,拓撲絕緣體包括:時間反演[13,14]、鏡面對稱[15]、非點群拓撲絕緣體[16]等。拓撲半金屬包括:狄拉克[17]、外爾[18]、節線態拓撲半金屬[19]等。還有一些其他類型的費米子體系[20]。

在這些拓撲材料中,拓撲節線半金屬是十分有趣之一類。它有許多不同的特性:第一個特性來源於其特殊的能帶結構。雖然從分類上來說,拓撲節線半金屬類似於拓撲節點材料中的狄拉克和外爾半金屬,也可以分為狄拉克和外爾節線半金屬材料。但是,與這兩種拓撲節點半金屬不同的是,它的價帶與導帶的交點可以在布裡淵區中連續分布,形成閉合回路。因此,拓撲節線材料需要使用多組拓撲不變量來進行嚴格定義。這一拓撲的來源則在於晶體場和化學鍵共同作用,產生能帶反轉,能帶相交形成拓撲節線。一般情況下,都是通過薛定諤方程中的哈密頓量來描述拓撲狄拉克節線。在動量空間中,這一節線具有連續性和對稱性,而自旋-軌道耦合會造成連續性和對稱性的破缺。也因此,拓撲節線量子態只存在於自旋-軌道耦合效應很弱的系統中。

拓撲節線態的另一個特性就是在表面上存在拓撲非平庸的鼓膜狀表面態。如果在拓撲節線半金屬材料中引入較強的自旋-軌道效應,它的能帶反轉仍然存在,但節線態會遭到破壞。此時,拓撲節線可能被完全打開形成能隙而變為拓撲絕緣體,也可能離散為某些交點而變為狄拉克半金屬或外爾半金屬。拓撲節線半金屬可認為是拓撲絕緣體與普通絕緣體或普通金屬的中間態,它的出現不僅完善了拓撲材料的理論體系,也讓人們對能帶理論有了更加全面的認識。同時,拓撲節線態導致的拓撲非平庸鼓膜狀表面態,一般出現在費米能級附近。這一特點使得表面費米能級附近出現巨大的電子態密度,許多特殊的物理性質都與這一現象相關。

4.拓撲節線半金屬:鈹

“他山之石,可以攻玉”。拓撲物理學的發展,為金屬鈹若乾科學謎題的解決提供了很好的契機。我們知道,拓撲節線需要在弱自旋-軌道耦合體系中尋找。自旋-軌道耦合的強度與原子序數正相關,一些質量很輕的元素的自旋-軌道耦合效應對於電子能帶的影響可以忽略不計,而鈹恰好是一種質量很輕的金屬元素。另一方面,我們希望在拓撲節線材料費米能級處的能帶盡可能少,最好是形成半滿帶或者滿帶,而鈹看起來也滿足這一條件。果然,2016年,拓撲狄拉克節線態在單質金屬鈹中被發現[7],而且還是立即就有實驗證據證實的拓撲狄拉克節線態半金屬。

圖3. Be的晶體結構和電子結構圖[7]。(a)為晶體結構俯視圖,Be原胞中包含兩個原子(粉球和綠球,位於俯視圖不同的平面)。從對稱性分析,這兩個原子在原胞內等價。圖(b)為Be的布裡淵區和布裡淵區中的高對稱點以及投影到(0001)表面的二維布裡淵區和高對稱點。圖(c)為沿著高對稱線的能帶結構,crossing A和crossing B為導帶與價帶的交點。

5.鈹的拓撲起源

首先來了解一下鈹Be金屬的晶體結構。如圖3(a)所示,Be為簡單六角結構,空間群為P63/mmc。圖3(c)是它的體能帶結構,與之前的理論計算結果相同[21]。從電子能帶結構看,在Γ – M和Γ – K方向都可觀察到導帶和價帶的交點(crossing A和crossing B),位於費米能級附近。它們並非孤立交點,而是在kz= 0面上形成一個閉合的環狀拓撲狄拉克節線態,如圖4(a)所示。

Be具有中心反演對稱性和時間反演對稱性,可用時間反演不變點上佔據態宇稱的方法來計算拓撲不變量Z2。計算揭示,在Γ點上的佔據態宇稱為+1,其它七個時間反演不變點上的宇稱為-1,因此其拓撲Z2指數為(1; 0, 0, 0)。也就是說,組成狄拉克節線的s軌道和pz軌道在Γ點發生了能帶反轉,乃其拓撲起源。

圖4. Be的電子結構圖[7]。(a) kz= 0平面的電子結構;(b) (0001)表面電子能帶結構和實驗測量結果[9]。

拓撲節線半金屬的一個主要特徵是:體狄拉克節線會激發非平庸鼓膜類表面態。金屬鈹也不例外,如圖4(b)所示:紅色的能帶線為鼓膜狀表面態,當其投影到(0001)表面上時,會在節線內出現拓撲非平庸的表面態。它在表面為電中性時為半佔據態、且十分穩定。這個表面態極大增加了費米能級附近的態密度,使得Be (0001)面呈現出金屬態,且面上費米能級的態密度大約是體相的5倍。拓撲狄拉克節線導致的拓撲非平庸表面態正是Be (0001)面上表面態大幅偏離近自由電子模型的起因。

其實,早在2005年,物理人即通過角分辨光電子能譜實驗,探測到這種節線態激發的非平庸鼓膜所形成的環[22],如圖5所示。這與計算結果十分吻合,證明了表面確實存在非平庸鼓膜類的表面態。

圖5. Be (0001)面的費米面[7]。(a) Ring A表示狄拉克節線投影到表面形成的、以Γ點為中心的封閉圓環,Ring B表示拓撲非平庸半佔據表面態。(b)和(c)乃2005年實驗報導的ARPES結果[22],證實了Ring B的表面態。

圖6.計算出的金屬Be (0001)表面屏蔽勢的弗裡德爾振蕩[7]。左圖的紅實線為將表面態視為拓撲非平庸的鼓膜狀表面態時所得結果,藍實線為將表面態視為近自由電子的屏蔽勢之弗裡德爾振蕩。右圖中A表示恆流模式的STM圖像,B表示A圖像的2D傅裡葉變換[4]。

6.表面巨大弗裡德爾振蕩之來源

早在1997年,丹麥奧胡斯大學物理與天文學研究所和美國橡樹嶺國家實驗室的物理人即通過STM實驗揭示:Be (0001)表面存在電子密度大幅度振蕩。這種振蕩波幅在費米能級附近反常增強,與弗裡德爾振蕩電荷屏蔽概念不一致。因此,他們稱這種現象為“反常的弗裡德爾振蕩” [4]。當時,他們猜測出現這種現象的原因是一種多體效應,或者是由電子氣造成,也或者是由於晶格振動造成。

所謂弗裡德爾振蕩,即指傑克斯·弗裡德爾(Jacques Friedel)所發現的一種現象。如果將一點電荷放入金屬中,就形成所謂雜質電荷。考慮遠離雜質電荷的過程,此時空間中由此點電荷產生的庫侖勢強度是在衰減。但是,與真空中庫侖勢衰減不同,金屬中雜質電荷產生的庫侖勢在庫侖屏蔽效應的影響下,隨著距離增加會產生周期性振蕩,而振幅會隨著距離增加而衰減。

在Be的(0001)表面,拓撲非平庸的表面態在費米面處可近似地視為拋物線色散。由此,Be的(0001)表面上雜質電荷Ze誘發的屏蔽勢可寫作如下形式:

其中qS為修正波矢,記作qS=g m*e2/κh2。g為電子能帶的簡並因子,對於拓撲費平庸表面態為g= 1,近自由電子g為2。m*為電子有效質量,h為約化普朗克常數 (編者:輸入系統所限的非正規符號表示),κ為材料介電常數,kF為費米波矢。關於費米波矢kF,由於佔據數不同,拓撲非平庸的鼓膜狀表面態與近自由電子模型下的費米面大小不同。近自由電子的費米波矢為1.683 Å-1,而Be (0001)面拓撲非平庸鼓膜狀表面態的平均費米波矢為0.953 Å-1。該值與實驗測量結果0.945 ± 0.02Å-1很好吻合[4]。如圖6所示,計算的確給出了近自由電子與Be (0001)表面拓撲非平庸鼓膜狀表面態引起的屏蔽勢振蕩。事實上,由半填充鼓膜狀表面態引起的屏蔽勢弗裡德爾振蕩,其振幅比近自由電子高出許多,證明其表面上巨大弗裡德爾振蕩產生的本質原因乃來自於體能帶中狄拉克節線量子態誘發的拓撲非平庸鼓膜狀表面態。

7.鼓膜狀表面態與巨大表面電-聲耦合

電-聲耦合,即電子和晶格振動的相互作用,是一種因電子能量受到偏離周期勢場影響而發生改變的現象。電-聲耦合在凝聚態物理中普遍存在,與許多有趣的物理性質密切相關。例如,(1)電-聲耦合可影響材料隨溫度變化的電子能帶結構,導致光電子能譜、拉曼和中子實驗中經常觀察到典型扭結或者Kohn異常現象。(2)電-聲耦合還會加強金屬隨溫度變化的電阻,增加半導體材料的載流子遷移速率,當然也會對傳統BCS超導產生起到決定性作用。除此之外,電-聲相互作用耦合了晶格和自旋自由度,也可調節色心自旋的壽命,在自旋電子學和量子信息領域內也有重要應用。

Be表面是一個二維系統,具有巨大反常電-聲耦合增強。實驗上,測得的Be表面電-聲耦合強度高達1.18 [5],而Be塊體電-聲耦合強度只有0.24 [23],二者存在著巨大差異。Be表面的這種巨大電-聲耦合效應,使Be的(0001)表面成為表面超導電性研究的理想平台,而其機理也成為關注焦點。

事實上,在Be被確認為一種狄拉克節線半金屬後,筆者又認識到它的Be (0001)表面上既存在狄拉克節線量子態誘發的拓撲非平庸鼓膜狀表面態、也存在巨大表面電-聲耦合效應。這一現象引起我們的興趣。

圖7.薄膜模型中Be (0001)表面的電子結構和聲子譜[8]。(a)和(b)分別為Be (0001)表面電子與聲子在高對稱線上的色散曲線對比圖。彩色圓點為實驗測量值。(c)和(d)分別為(0001)表面上電子與聲子的態密度(藍線)與體材料中態密度(紅線)對比圖。正文中的K(上劃線)用K-表示、M(上劃線)用M-表示,以此類推。

為深入研究表面的巨大電-聲耦合:

首先,要準確認識Be的表面電子結構和表面聲子特性。圖7為Be (0001)表面的電子結構和聲子譜,它們與實驗結果吻合得很好。表面電子結構清晰呈現出拓撲狄拉克節線投影到表面誘發的鼓膜狀表面態,並且表面電子態密度圖中也顯示出表面電子態密度之顯著增強。對表面聲子譜分析,可以看到表面有一條十分局域的聲子振動膜:瑞利波模(Rayleigh wave mode)。對其振動模分析,可確定此模由最外層原子沿著表面振動構成,屬於軟模,因此對最外層原子與次外層原子間的晶面距離變化十分敏感。對比Be (0001)表面與體材料的聲子態密度,還可以發現:表面聲子較之體聲子在低頻區多出兩個峰,高頻區峰位有向高頻偏移的趨勢。

其次,要深入解析Be表面反常的電-聲耦合。先從電-聲耦合的基本公式出發,將電子動量、聲子動量、不同電子與聲子能帶進行分離。具體方法見附錄A。通過對電-聲耦合方程的拆解,可得到其在每個電子動量或聲子動量上伊利艾伯格函數(α2F)和電-聲耦合強度的空間分布。

圖8. Be (0001)表面上伊利艾伯格函數(α2F)與電-聲耦合強度[8]。

(a)為Be (0001)表面的α2F在頻率區間上的分布。紅線為α2F在頻率區間上積分值,表示Be (0001)表面上電-聲耦合強度。

(b)為Be (0001)表面的薄膜模型(16個原子層)中每一條聲子帶的電-聲耦合強度。圖中數值為聲子帶序號,一共包含48條聲子帶。

(c)為Be (0001)表面上沿Γ-- M-方向的α2F在頻率區間分布。藍線為本次計算結果,紅線為實驗測量結果,綠線為之前計算結果。橙線為本次計算結果在頻率上的積分,代表這個方向上的電-聲耦合強度。這裡用Γ-表示Γ(上劃線)、用M-表示M(上劃線),以此類推。

接下來,對Be表面電-聲耦合計算結果進行分析:

首先,計算每一條聲子帶對電聲耦合的貢獻。圖8(a)為伊利艾伯格函數在頻率區間的分布。通過對頻率區間積分,計算出Be (0001)表面的電-聲耦合強度為0.947,與實驗值1.18 [5]十分接近。

其次,對模型中每一條聲子帶的電-聲耦合強度進行解析,如圖8(b)所示。第一條聲子帶上的電-聲耦合強度最高,達0.064。這條最低頻的聲子帶為瑞利波模,會產生高的電-聲耦合。然而,相對於Be表面上總的電-聲耦合強度1.18,這一瑞利波模並沒有起到決定性作用,Be表面巨大電-聲耦合效應來自所有聲子帶集體作用,其中不同顏色的曲線標記各個電-聲耦合系數較大的聲子模。

再次,還計算了Be表面上沿Γ-- M-方向的α2F在頻率區間的分布,如圖8(c)所示。通過與之前計算結果和實驗對比發現,儘管之前計算的電-聲耦合強度與實驗值吻合,但是計算得出的α2F在頻率區間的分布與實驗值存在較大偏差。由圖8(c)可清晰看到:之前計算結果(綠線)與實驗測量結果(紅線)有差異,特別是在10 THz處,實驗測量的α2F展現2個波包的谷底,而之前計算卻展現一個尖銳波峰。通過精確調整參數,可以解決這一問題,目前最新計算結果(藍線)與實驗測量在低頻區主要波峰處都能夠完美匹配。

至此,表面巨大電-聲耦合強度的物理本質仍然未知。基於以上精確計算,可進一步分析非平庸鼓膜類表面態對表面電-聲耦合強度的貢獻。分析顯示,Be的狄拉克節線投影到(0001)表面,誘發拓撲非平庸鼓膜狀表面態,並局域在投影的節線內部,從而在費米面上形成一個圓環。通過改變積分形式,可將對電-聲耦合強度的積分由對電子動量在整個布裡淵區積分變為只在拓撲非平庸的鼓膜狀表面態積分。這樣,就可得到鼓膜狀表面態對電-聲耦合強度的貢獻。

圖9. (a) Be (0001)表面上K-點上每條聲子能帶的電-聲耦合強度與拓撲非平庸表面態產生的電-聲耦合強度。圖中藍點為拓撲非平庸表面態產生的電-聲耦合強度,紅點為所有電子產生的電-聲耦合強度。(b)K-點上第一條聲子帶的伊利艾伯格函數在電子動量空間中分布的三維圖像。(c) Be不同路徑上的電-聲耦合強度[8]。這裡用Γ-表示Γ(上劃線)、用M-表示M(上劃線),以此類推。

古話說:橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同。計算結果很出人意料,預示出:任何一條聲子模的每一個聲子動量q上,拓撲非平庸鼓膜狀表面態貢獻的電-聲耦合強度都佔了極高比重。整個系統總的電-聲耦合強度中,鼓膜狀表面的貢獻高達80.2 %,是Be表面巨大電-聲耦合增強的主要原因。

為了更加直觀展示以上計算結果,還可以選K-點為例說明。將電-聲耦合強度最高的幾條聲子帶上伊利艾伯格函數與幾條強度較低的聲子帶進行比照,再將每一條聲子帶上伊利艾伯格函數在電子動量空間中的分布畫出,如圖9(a)所示。K-點上總的電-聲耦合強度,絕大部分來自於拓撲非平庸表面態產生的電-聲耦合。為進一步形象說明這個現象,可刻畫α2F在電子動量空間中的分布,如圖9(b)所示。這裡,第一條聲子帶的α2F在K-點上主要分布在鼓膜狀表面態位置上,具有較高強度。所以,這部分α2F的積分對電-聲耦合強度貢獻佔比最大。

隨後,將圖8(b)中具有較大電-聲耦合強度的聲子模在K-點上對應的α2F描繪於電子動量空間中,如圖10所示。為進行對比,同時還表征了低電-聲耦合的31號聲子模分布,如圖10(m)所示。對所有聲子模,伊利艾伯格函數都主要分布在Be (0001)面費米能級附近的表面態上。特別要指出,伊利艾伯格函數在拓撲非平庸鼓膜狀表面態上的分布要遠遠高於拓撲平庸表面態上的分布。

以上結果,都說明了拓撲非平庸的鼓膜狀表面態是Be (0001)表面上出現巨大電-聲耦合效應的主要原因。此外,伊利艾伯格函數在動量空間中的分布具有各向異性,如圖9(c)所示。計算的Γ-- M-方向與Γ-- K-方向之間不同路徑上的電-聲耦合強度,變化趨勢與實驗測量結果吻合。這不僅證實Be (0001)表面上的電-聲耦合強度確實具有各向異性,還再一次驗證了計算方法的可靠性。

8.表面巨大反常層間向外弛豫

另外,這一工作也關注金屬鈹(0001)表面存在巨大反常向外弛豫問題。一般地,如果把金屬斷裂成兩半,那麽斷裂面最外層原子一般要向金屬內部方向收縮,即最外層原子與裡層原子的層間距要收縮。這種現象容易理解,因為至少有一半的原子間鍵合在一個方向全部斷開,表面最外層原子會向沒有斷開方向收縮進去,導致其層間距縮短。

有趣的是,實驗和計算均揭示:鈹與大多數金屬向裡收縮現象相反,它(0001)面最外層原子是向外弛豫的,導致最外層間距反常增大。迄今為止,鈹是所有金屬中存在這種反常向外弛豫現象最大的一種金屬,其反向擴展高達5.8 % [24]。初步認為,這一反常與其非平庸拓撲表面態有關係,筆者正掙扎於其中根源。

圖10.共計16個原子層厚的Be (0001)表面費米能級截面和K-點幾條不同聲子帶上的伊利艾伯格函數在電子動量空間中分布[8]。這裡用K-表示K(上劃線)。

9.結語

簡單總結一二:Be (0001)表面電子嚴重偏離近自由電子氣模型,存在巨大弗裡德爾振蕩,產生巨大表面電-聲耦合效應。這些獨特性質的本質原因,可歸結為體能帶中的狄拉克節線量子態。這一工作不僅解決了長久以來困擾於金屬Be的謎題,也解釋了備受關注的Be (0001)表面巨大電-聲耦合效應的產生機理,證實狄拉克節線量子態確實具有產生巨大表面電-聲耦合效應的潛力。這些結果看起來為拓撲節線半金屬材料的應用提供了一些啟示。

放眼望去,毫無疑問,從拓撲物理到拓撲材料,用十年左右時間獲得當前的進展,是值得欣慰的。事實上,計算和實驗幾近完美一致,似乎促進了這一領域的快速發展。我們相信,這一領域將會繼續向前。

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11.附錄

封 面

金屬鈹(0001)表面電-聲夫婦在由拓撲節線激發的非平庸鼓膜表面態上的舞蹈

備注:

(1)筆者供職於沈陽材料科學國家研究中心、中國科學院金屬研究所。

(2)題頭小詩乃Ising所撰,表達拓撲之於物理乃山水之於生命的景象。

(3)本文從開始構思到成文,經歷了很長一段時間。特別感謝陳星秋老師對我們的指導和幫助、給我們提供寫作素材和相關文獻、最後又以認真嚴謹的工作態度對文章反覆推敲和潤色。文章順利完成也有賴於李榮漢師兄和李江旭師兄的補充和修改建議。

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