乘法表和加法表派生的數學難題的一個進展

本文作者，Kevin Hartnett，《量子》雜誌資深作者。

翻譯作者，Humphrey，哆嗒數學網翻譯組成員。

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“和-積”問題的最新進展引起了一個著名的數學結論，它揭示了有限數系的威力。

在一片空曠的地方做側空翻是一回事，但在一個類似浴缸狹窄的地方做卻是另一回事。同樣，從某一個角度來說，這正體現了過去二十年多年數論中最重要的結果之一的精神。

我寫過關於“和-積”問題的東西。它要求取任意數集，然後把它們排列在一個表格中，使得每個交叉格中的數字等於對應格中數的和或者積。

“和-積”問題猜不同的和或者積的個數的數量級大致是N²（N表示構造網格所使用數字的個數）

“和-積”問題可以使用任何實數集生成網格，你也可以將此問題限制為特定的比實數更小的數字系統。這些自我包含的數字系統被稱為“有限域”。

在數學中，“域”是指你能在其中進行加減乘除四則運算的任何數字系統。全體實數形成了一個域。你對任何兩個實數進行四則運算得到的結果是一個實數。或者，換一種方式說，實數的算術運算不會產生非實數。

整數不能形成一個域。確實，你對任意兩個實數進行加減乘能得到第三個實數，但是3除以2你將得到3/2，而3/2不是一個整數。

“有限”域是一個由有限個數字組成的數字系統。有不同類型的有限域，但最簡單的有限域被稱為“模”算術或者“鍾表”算術。在模算術種，當你到達最後一個數字時候，你又回到了開始，就像沿著一個鍾表面數數一樣。例如，如果你下午七點去參加一個聚會，六個小時後回來，那麽你將在上午1點回來。用專業語言說就是，7+6=1（mod12）

實際上，鍾表上的12個數字並不形成一個域，這是數論中最為關鍵性的一個結論：模數字系統能形成一個域只有當元素個數為素數。如果模數字系統元素個數不是素數，例如鍾表12個數字，那麽你將遇到兩個非零數乘積為零的奇怪的情形。例如, 6 × 4 = 24，在基底為12的模數系中24即為0。這也將導致除法運算也會被破壞。但是如果模數字系統元素個數是一個素數，那麽兩個非零數乘積就永遠不會是零。

在數學中，有限域已經得到很多重要的結果。作為自成體系的算術世界，它們包含著豐富的結構，這使得數學家能夠利用它們去解決任何相關的問題，從質數到多項式方程解的模式。

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有限域上的方程

作者：（美）W. M. 施密特

當當

2003年，布爾岡(Bourgain),卡茨(Katz)和陶哲軒成為一批在有限域上的“和-積”問題取得進展的數學家。他們證明加法表和乘法表中使用的不同數字的總和隻比生成表格使用的數字的個數在數量級上略略大一點點。這個結果在數量級判定上的估計但是意義卻很重大。

布爾岡, 卡茨和 陶哲軒證明了加法和乘法之間一個里程碑式的聯繫。

卡茨說：“這是我們能得到的一個很小的結果，但是它確實原創結果”，卡茨目前在加州理工學院工作。

這篇論文的作者們是一個強大的隊伍：卡茨是一個業內飽受盛讚的數論專家，布爾岡和陶哲軒被列為同時代頂級數學家。布爾岡在64歲時死於癌症，他是為這個證明提供了大量支持。幾年前，他解決了一個不同種類的“和-積”問題。當他轉向“和-積”問題有限域版本時，他對獲得證明有著非常清晰的思路，但是他請來卡茨和陶哲軒來幫助解釋他試圖使用的方法的所有細節。

卡茨說：“基本上可以說，布爾岡知道如何做，他請我們幫忙因為他想寫一些關於他的方法的應用。”

自從2003年以來，其他數學家在他們三人的基礎上改進了關於不同數字和或者積個數的結果，得到了甚至比他們三人得到的更大的數字。數學家也把他們證明的技術應用到數學其他方面，包括研究膨脹圖形和多項式與素數相關的問題。

對於“和-積”問題，有限域（你能握在手上）比起實數域也許更合適。但事實上，在有限域情形下，這個問題更深刻，也給其他數學家更多的暗示。

原因是因為有限域上的“和-積”現象成立比起實數域上更加困難。問題的原來形成機制推斷，任何數字集合將產生比該集合元素個數更多的和與積。當考慮實數集合時，由於它有無限多，也許這一推斷不是一個驚訝的結論。但是這對有限域成立，因為有限域很少有空間移動？這就像在浴缸成功完成側空翻。

卡茨說：“實數是無限集，有無限多的空間可以生長。但是在一個有限域，只有有限的空間成長，所以從生長的可能性意義來講，它其實是一種更強的結論”

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