一文讀懂“黎曼猜想”

1900年，大數學家希爾伯特（Hilbert）在巴黎舉辦的第二屆國際數學家大會上提出了23個數學問題，它為整個二十世紀的數學發展指明了方向。時過境遷，值千禧年之際，美國克雷研究所提出了7個世紀性的數學難題，並慷慨地為每個問題設定了100萬美元的獎金。

德國著名數學家希爾伯特（David Hilbert，1862～1943）

當我們回顧這次跨越時空的呼應時，卻發現有一個共同的問題，並且已經伴隨著數學家們走過了滄桑百年的歷程，它就是大名鼎鼎的黎曼猜想。

黎曼猜想究竟有何神奇之處，竟讓如此多的數學家為此癡迷和魂牽夢繞？在它那裡，又藏著怎樣驚世駭俗的秘密？破譯這樣一個難題，真的會給數學和世界帶來激動人心的改變嗎？

質數探索

在自然數序列中，質數就是那些只能被1和自身整除的整數，比如2，3，5，7，11等等都是質數。4，6，8，9等等都不是質數。由於每個自然數都可以唯一地分解成有限個質數的乘積，因此在某種程度上，質數構成了自然數體系的基石，就好比原子是物質世界的基礎一樣。

人們對質數的興趣可以追溯到古希臘時期，彼時歐幾裡得用反證法證明了自然數中存在著無窮多個質數，但是對質數的分布規律卻毫無頭緒。隨著研究的深入，人們愈發對行蹤詭異的質數感到費解。這些特立獨行的質數，在自然數的汪洋大海裡不時拋頭露面後，給千辛萬苦抵達這裡的人們留下驚歎後，又再次揚長而去。

1737年，瑞士的天才數學家歐拉（Euler）發表了歐拉乘積公式。在這個公式中，如鬼魅隨性的質數不再肆意妄為，終於向人們展示出了其循規蹈矩的一面。

沿著歐拉開辟的這一戰場，數學王子高斯（Gauss）和另一位數學大師勒讓德（Legendre）深入研究了質數的分布規律，終於各自獨立提出了石破天驚的質數定理。這一定理給出了質數在整個自然數中的大致分布概率，且和實際計算符合度很高。在和人們玩捉迷藏遊戲兩千多年後，質數終於露出了其漂亮的狐狸尾巴。

橫空出世

雖然符合人們的期待，質數定理所預測的分布規律和實際情況仍然有偏差，且偏差情況時大時小，這一現象引起了黎曼的注意。

其時，年僅33歲的黎曼（Riemann）當選為德國柏林科學院通信院士。出於對柏林科學院所授予的崇高榮譽的回報，同時為了表達自己的感激之情，他將一篇論文獻給了柏林科學院，論文的題目就是《論小於已知數的質數的個數》。在這篇文章裡，黎曼闡述了質數的精確分布規律。

沒有人能預料到，這篇短短8頁的論文，蘊含著一代數學大師高屋建瓴的視野和智慧，以至今日，人們仍然為隱匿在其中的奧秘而苦苦思索。

黎曼Zeta函數

黎曼在文章裡定義了一個函數，它被後世稱為黎曼Zeta函數，Zeta函數是關於s的函數，其具體的定義就是自然數n的負s次方，對n從1到無窮求和。因此，黎曼Zeta函數就是一個無窮級數的求和。然而，遺憾的是，當且僅當複數s的實部大於1時，這個無窮級數的求和才能收斂（收斂在這裡指級數的加和總數小於無窮）。

為了研究Zeta函數的性質，黎曼通過圍道積分的方式對該函數做了一個解析延拓，將s存在的太空拓展為複數平面。

研究函數的重要性質之一就是對其零點有深刻的認識。零點就是那些使得函數的取值為零的數值集合。比如一元二次方程一般有兩個零點，並且有相應的求根公式給出零點的具體表達式。

黎曼對解析延拓後的Zeta函數證明了其具有兩類零點。其中一類是某個三角sin函數的周期零點，這被稱為平凡零點；另一類是Zeta函數自身的零點，被稱為非平凡零點。針對非平凡零點，黎曼提出了三個命題。

第一個命題，黎曼指出了非平凡零點的個數，且十分肯定其分布在實部大於0但是小於1的帶狀區域上。

第二個命題，黎曼提出所有非平凡零點都幾乎全部位於實部等於1/2的直線上。

第三個命題，黎曼用十分謹慎的語氣寫到：很可能所有非平凡零點都全部位於實部等於1/2的直線上。這條線，從此被稱為臨界線。而最後這個命題，就是讓後世數學家如癡如醉且寢食難安的黎曼猜想。

有人曾經問希爾伯特，如果500年後能重回人間，他最希望了解的事情是什麽？希爾伯特回答說：我想知道，黎曼猜想解決了沒有。美國數學家蒙哥馬利（Montgomery）曾經也表示，如果有魔鬼答應讓數學家們用自己的靈魂來換取一個數學命題的證明，多數數學家想要換取的將會是黎曼猜想的證明。黎曼猜想，儼然就是真理的宇宙裡，數學家心目中那顆最璀璨的明星。

黎曼的三個命題

短短八頁的論文裡，黎曼給後人留下了卓絕非凡的智慧和思想，也為後世留下了魅力無窮的謎團。文章裡的證明因為篇幅限制而多被省略，吝惜筆墨的黎曼卻讓身後數百年的數學大家費盡心思、相形見絀。這篇格局巨集大、視野開闊的論文站在了時代的最前沿，其高瞻遠矚的目光和魄力直到今日仍然指引著主流數學界的方向。

在第一個命題的某一步證明裡，黎曼用輕鬆的語氣寫道：這是不言而喻的普適性的結果。但就是這樣一個似乎不值一提的結果，卻花費了後人40年的時間苦苦探索。芬蘭數學家梅林因為在這一小步上的貢獻而名垂青史。此後，在黎曼眼中一筆帶過的第一命題最終才由德國數學家蒙戈爾特（Mangoldt）在46年後給出完整的證明。

針對第二命題，黎曼用了相當肯定的語氣指出其正確性。遺憾的是，他沒有給出任何證明的線索，只是在與朋友的一封通信裡提及：命題的證明還沒有簡化到可以發表的程度。然而黎曼畢竟高估了讀者的能力，第二個命題猶如一座巍峨的大山壓在了後世數學家的心中，直到今天也踹不過氣來。一個半世紀過去了，人們還在為尋找第二命題的證明而陷入深思，似乎絲毫找不到破解它的希望。

更讓人們絕望的是，黎曼在論及第三命題時，破天荒地沒有使用肯定的語氣，而是謹慎地說道：這很有可能是正確的結論。作為複變函數功彪千古的大師，黎曼此時也失去了信心，只能借助試探的口吻表達自己的觀點。也正是這個讓黎曼猶豫而止步的命題，終成了數學史上最為壯美險峻的奇峰。

有人曾經質疑黎曼是否真的證明了第一和第二命題，他隨意寫下的結論僅僅是重複法國數學家費馬（Fermat）曾經的覆轍：把錯誤的想法當成了真理。

1637年，愛好數學的大法官費馬在一本書的頁邊寫下了他對一個問題的看法：他發現了一個簡潔的證明，但是由於紙張太小無法寫下來。這就是被後世稱為費馬猜想的問題，其完整的證明直到358年後的1995年才由英國數學家懷爾斯借助最艱深的現代工具所完成。

但是，人們很快打消了疑慮。從黎曼遺留下來的部分草稿來看，他的數學思想和功力已經遠遠超越同時代的數學家。即使是幾十年後被陸續發現的手稿中體現出來的能力水準，也讓當時的數學家難以望其項背。因此，人們有理由相信，這是一個偉大數學家的自信和坦然。

儘管黎曼猜想成立與否不得而知，數學家們還是傾向於它的正確性。一個半世紀以來，人們在假設黎曼猜想成立的情況下，以它作為基石，已經建立了一千多條定理，並且打造了無比輝煌的數論大廈。然而一旦黎曼猜想找到反例被證偽，這些精美的大樓就會如空中樓閣一樣曇花一現，最終崩塌，給數論帶來災難性的結果。

質數分布規律

質數作為一類特殊的整數，任性而古怪，它們悄悄地隱藏在浩浩蕩蕩的自然數列裡，以自己獨有的奔放奏出魅力四射的音符。這曲神秘的質數音律，不知讓多少追尋真理呼喚的人為之陶醉，為之傾注畢生精力，只為找到質數起舞的腳步和節拍。

遺憾的是，驕傲的質數們都是孤獨的行者，在數千年的時光裡靜靜地等待著能讀懂它的真命天子。從歐拉（Euler）開始，人們終於得以在無邊無際的整數世界裡一瞥質數的浮光掠影。

黎曼（Riemann）一舉揭示了質數最深處的秘密，優雅地給出了質數分布的精確表達式。人們第一次能夠近距離窺視質數們在自然界跳舞的規律，是那樣的豪放與不羈，平靜時如溫柔的月光灑在無波的大海，奔騰時又如滔天巨浪傾瀉在一葉孤舟，讓人愛恨交織、目馳神移。

然而，質數並不是完全隨性而為，它的表現始終臣服在黎曼Zeta函數零點的分布規律上。因此，破譯黎曼猜想就等於完全確定了質數跳舞的規律和秩序，無疑將開啟數論中最激動人心的篇章。也因此，黎曼猜想成了無數人心目中夢想征服的珠穆朗瑪峰。登上這座高峰的勇士，也將和歷史上最偉大的名字連接在一起，成為後人敬仰和追隨的英雄。

在黎曼的時代，質數定理雖然經由高斯（Gauss）和勒讓德（Legendre）提出，但卻是未經證實的猜想。它讓最捉摸不定的質數在陽光下現出了蹤跡。當時最傑出的數學大師也為此傾心，試圖證明質數定理。

解決質數定理

在黎曼提出的第一個命題裡，數學家很容易證明Zeta函數的零點位於實部不小於0，不大於1的帶狀區域上，但是無法排除實部等於0和1的兩條直線。令人驚喜的是，人們很快發現如果能證明黎曼眼中顯而易見的第一命題中的某一關鍵結論，則可以直接證明質數定理。

在黎曼提交論文的36年後，數學家哈達瑪（Hadamard）等人不負眾望，終於證明了該結論，也順帶解決了質數定理，從而完成了自高斯以來眾多數學大師的心願。

然而黎曼在第一命題裡所輕鬆描述的全部結論，直到46年後的1905年才由蒙戈爾特（Mangoldt）完成。

黎曼猜想的一個小小命題裡就蘊含著如此巨大的能量，自此以後，數學家把注意力都集中到了黎曼猜想的攻堅上來。

於是，1900年的巴黎，希爾伯特（Hilbert）代表數學界提出了23個影響深遠的問題，黎曼猜想作為第8個問題的一部分而被世人所知。百年輪回，時至今日，23個問題中已經有19個確定解決，還有3個部分解決。黎曼猜想依然如巍峨的奇山，矗立在人類的智力巔峰之上。

鑒於黎曼猜想的巨大難度，人們無法一步征服如此雄偉的山峰，只能在山腳和山腰尋找攀登的線索。一批數學家另辟蹊徑，不再駐足於尋求黎曼猜想的證明上，而是去計算黎曼猜想的零點。如果一旦發現某一個零點並不位於實部是0.5的直線上，這就等價於找到一個反例，從而證實黎曼猜想並不成立。

1903年，丹麥數學家第一次算出了前15個非平凡零點的具體數值。在黎曼猜想公布44年後，人們終於看到了零點的模樣。毫無意外的是，這些零點的實部全部都是0.5。

1925年，李特爾伍德（Littlewood）和哈代（Hardy）改進了計算方法，算出前138個零點，這基本達到了人類計算能力的極限。

過於龐大的計算量，讓後人放棄了繼續尋找零點的努力。而為了選擇更多的非平凡零點，人們還在黑暗中苦苦摸索。沒想到，這一次，曙光來自於黎曼的遺稿。

手稿裡的智慧遺產

隨著證明黎曼猜想的努力付諸東流，而計算零點的可能也趨於渺茫，數學家陷入了漫長的痛苦期，以至於他們終於開始懷疑黎曼猜想不過是他直覺的猜測，而並沒有實際的計算證據。

黎曼時代的數學家喜歡發表他們認為已經成熟的學術成果，而對探索中的理論諱莫如深。因此，很多數學家公開發表的成果只是他們做研究的極小一部分，許多價值連城的遠見並沒有對外公布。

這方面，高斯（Gauss）是一個典型。在1898年公布的高斯科學日記裡，人們才發現，他的很多思想和成果已經遙遙領先那個時代，但是卻因為沒有發表而讓後世的數學家走了很多彎路。

比如，橢圓函數雙周期性理論的結果直到100年後才被後人重新發現。同時，高斯也最早意識到了非歐幾何的存在。這樣的例子比比皆是。

人們只能從高斯的稿件和信件中去尋找那些依舊蒙塵卻隱匿著科學巨匠光輝的成果。

因此，在黎曼猜想面前灰頭土臉的數學家把目光投向了黎曼的手稿。遺憾的是，大部分凝聚黎曼心血和洞見的手稿在他去世後被管家付諸一炬，從此人們失去了近距離了解黎曼進行科學思考和創作的機會，也讓他卓絕非凡的智慧結晶失去了傳承。

黎曼的妻子僥幸搶救出了一小部分手稿，並把它贈送給了黎曼生前的好友戴德金。後來，她擔心手稿裡可能有黎曼與她的私人信件，又將大部分手稿索回。這些殘留的珍貴手稿，最後經由戴德金獻給了哥廷根大學圖書館。這也成了黎曼留給後人的珍貴遺產。

很多慕名前去的數學家希望從黎曼的手稿裡得到啟發，但是，這些手稿太過艱深晦澀，人們止步於此，無法讀懂黎曼在天馬行空的字裡行間所展示出的才能。一代數學大師的遺物，在為將來破譯它的人牢牢地守護著秘密。

零點計算的推進

1932年，德國數學家西格爾（Siegel）終於在歷經兩年的苦苦鑽研後，從黎曼的手稿裡找到了關鍵的證據。正是這一證據表明，黎曼對他提出的三個命題有過極其深刻的思考和計算。

西格爾在手稿裡發現了黎曼當年隨手寫下的公式，這個公式今天被稱為黎曼-西格爾公式。西格爾也因為讓黎曼的公式重現天日而最終獲得了菲爾茲獎。

有些數學家甚至認為：如果不是西格爾發現了這個公式，時至今日，它會像埋入沙漠深處的寶藏，再難被後人重新發現。西格爾寫下這個公式的那天，距離黎曼在手稿裡留下這份遺產已經過去了73年。

黎曼-西格爾公式很快發揮了其巨大的威力，基於這一公式，人們可以很輕鬆地繼續推進零點的計算。

哈代（Hardy）的學生利用西格爾公式把非平凡零點的個數計算到了1041個，人工智能之父圖靈推進到了1104個。此後的幾十年，在電腦的輔助下，人們繼續了零點計算的接力賽。

1966年，非平凡零點已經驗證到了350萬個。20年後，電腦已經能夠算出Zeta函數前15億個非平凡零點，這些零點無一例外地都滿足黎曼猜想。2004年，這一記錄達到了8500億。最新的成果是法國團隊用改進的算法，將黎曼Zeta函數的零點計算出了前10兆個，仍然沒有發現反例。

十兆個飽含著激情和努力的證據再次堅定了人們對黎曼猜想的信心。然而，黎曼Zeta函數畢竟有無窮多個零點，十兆和無窮大比起來，仍然只是滄海一粟。黎曼猜想的未來在哪裡，人們一片茫然，不得而知。與此同時，試圖證明黎曼猜想的人們也傳來了佳音。

零點的臨界線

數學家哈代（Hardy，1877年-1947年），他證明了黎曼Zeta函數的零點的臨界線，這是針對黎曼猜想的一個重大突破

英國數學家哈代首先證明Zeta函數的零點有無窮多個都位於實部是0.5的直線上。這是一個無比震驚的重大突破。在此之前，人們甚至不知道零點的個數是否有限，而哈代的結果則是直接告訴人們，零點的個數不僅是無窮的，而且還有無窮多個零點都位於這條臨界線上。但是遺憾的是，人們並不知道臨界線外是否存在非平凡零點。

隨後，挪威數學家塞爾伯格（Selberg）證明了臨界線上的零點個數佔全部非平凡零點個數的比例大於零，這意味著臨界線上的零點在全部零點的分布中舉足輕重。

進一步，美國數學家萊文森（Levinson）引入了獨特的方法，證明臨界線的零點佔全部零點的比例達到了34.74%。

基於萊文森的技巧，美國數學家康瑞（Conrey）在1989年把比例推進到了40%，這也是迄今為止得到的最好結果。

物理世界的奇遇

在理論和計算的突破猛進下，人們開始關注零點在臨界線上的分布規律。數學家蒙哥馬利（Montgomery）發現零點分布的規律竟然和孿生質數對在數軸上的分布規律類似。受此啟發，他寫下了一個關聯函數來描述這種規律。令人驚奇的是，該函數描述的理論結果和實際計算結果幾乎完美地吻合。

蒙哥馬利隱約覺得這背後隱藏著巨大的秘密，卻又百思不得其解。帶著這一疑問，他在1972年訪問了普林斯頓高等研究院。

在下午茶的階段，他偶遇了物理學家戴森（Dyson）。由於彼此研究領域的巨大差異，兩人只是禮貌地寒暄了一下。戴森隨口問問蒙哥馬利研究的課題。他將心中的困惑全盤托出，這差點驚掉了戴森的下巴。原來，讓蒙哥馬利雲裡霧裡的關聯函數正是戴森研究二十年的成果——這不是別的，正是一類隨機厄密矩陣本征值的對關聯函數。這是一個描述多粒子系統在相互作用下，能級分布規律的函數。

一邊是純數學的黎曼猜想，它關乎的僅僅是一個Zeta函數非零點分布這樣最純碎的數學性質，揭示的是質數在自然數序列裡優雅的舞姿和節奏。另一邊，卻是最現實的物理世界，它連接著量子體系、無序介質和神經網絡等等經典的混沌系統。

理論和現實在這裡交匯，在封閉的世界裡獨自發展了兩千多年後，作為數學最主要的分支——數論終於將觸角探及真實的時空。時至今日，人們對此呈現出的種種不可思議的關聯仍然感到匪夷所思。

數學理論照進現實

進入二十一世紀，越來越多的數學理論成果開枝散葉，很多早期被認為無用之用的分支，今日早已經成為現代科技最強有力的工具，為現代科技的發展推波助瀾。

曾經被人們束之高閣而偏安一隅的數學研究正化作人們手中的利器，在探索物質世界的途中披荊斬棘，更為人們提供越來越多的思想動力和創造的源泉。

微積分的誕生開啟了牛頓機械宇宙觀的巨集偉時代。人們驚奇地發現：普天之下，莫非王土，原來物理世界並不神秘，也並無不同，即使隱匿在宇宙深空的天體，其運動的規律都臣服在人類制定的法則之下。自此之後，牛頓力學開始大放異彩，基於其原理所發明的蒸汽機和發動機更是直接點燃了第一次工業革命的烈火。

我們今日所享受的資訊時代的文明，諸如電腦芯片和萬維網都深深地受益於量子力學的發展。這門徹底改變人們生活的科學，卻源自於很多數學基礎理論的饋贈，從線性代數、矩陣分析、統計學起，到數學家們為了解決五次方程求解問題而發明的群論等等。

基於廣義相對論，人們發明了突破地球引力約束的衛星。這使得天地通訊成為可能，也為深空探測、陸海導航打下了基礎。人們日益頻繁的出行，基於地理位置的GPS導航等等都在為我們的生活提供前所未有的便利。讓愛因斯坦流芳千古的廣義相對論，其數學原理正是非歐幾何（特別是黎曼幾何）和張量分析的應用。

自80年代末期，在物理理論中一枝獨秀的弦論，因為其大膽和前衛的想法，深受彼時科學家的青睞。這個有望解決相對論和量子力學的大一統理論，已經逐漸在主流科學界激起千層巨浪。弦論蓬勃發展的路線上，我們不難看到微分幾何堅定的背影。

2016年，三位物理學家分享了最高的榮譽——諾貝爾獎。他們因發現了物質拓撲相和在拓撲相變理論上的突出貢獻而獲獎。數學上艱深抽象的拓撲理論第一次也找到了用武之地。

物理學家用這個工具在理論上預測了一種特殊材質的存在，在它身上，人們能觀測到匪夷所思的反常量子霍爾效應。基於該效應發現的材料，能夠在常溫下、無需超強磁場的協助就能自發在某個方向上呈現電阻為零的特性。這讓電腦芯片的發展有了無限廣袤的太空，從此量子電腦和微型超級電腦的夢想距離我們又近了一大步。

數論：待開墾之地

數學的各大分支都在默默地為前沿科學提供精妙絕倫的應用。遺憾的是，有一門分支陪伴人類走過漫漫兩千多年真理探尋的艱辛旅途，卻還在其封閉的理論王國裡孤芳自賞。作為數學家們最悠久和最忠實的夥伴，不離不棄，它就是數論。

這個數學中最大的分支已經積累了無數深邃的理論成就，當今科技能受益於數論的成果不過就是隱秘在水下的冰山一角。人們都期待著，有朝一日，當冰山融化時，數論的碩果能惠及每一個後世子孫。破冰的希望，很可能就是處於群山之巔的黎曼猜想。

黎曼猜想，只是數論研究裡萬千瑰麗中的一朵。人們也期盼著，從它和現實世界那讓人千絲萬縷的關聯中，能找到打開果園的鑰匙，讓世界從此彌漫著果實的芬芳。

黃逸文(中國科學院數學與系統科學研究院)

來源：科學大院

下面是關於黎曼猜想的八卦。

就在昨天（9月20日），菲爾茲和阿貝爾獎雙料得主邁克爾·阿蒂亞（Michael Atiyah）宣稱自己證明了黎曼猜想，並且要在9月24日海德堡獲獎者論壇上宣講！

黎曼猜想大概是今天純數學領域最重要的問題，因為它涉及到質數的總體規律。歷史上很多宣稱證明的都失敗了，所以目前為止，大家都抱著吃瓜的心態等著24日的到來……

那麽今天，我們就好好吃一吃瓜，八一八那些年關於黎曼猜想的十五個八卦！

黎曼猜想，顧名思義是黎曼提出來的。黎曼是一位19世紀的德國數學家，英年早逝隻活了39歲，但卻是古往今來最偉大的數學家之一，甚至為後來愛因斯坦的廣義相對論奠定了數學基礎。

波恩哈德·黎曼 | 維基百科

黎曼家裡貧困，體弱多病，還特別害羞。父親是牧師，本來也想讓他做牧師的，但是他的中學校長髮現他在數學上更有潛力，鼓勵他學數學。據說，校長曾經送了他一本很重要很難懂的數學專著，長達859頁。六天之後，黎曼把書還了回去，說“我看懂了，這本書確實非常精彩。”這一年黎曼14歲。

黎曼最大的貢獻是在幾何學，有一個標誌性的事情就是他1854年為了獲得哥廷根大學講師席位而做的一場幾何學演講。因為聽演講的很多是學校的行政官員，所以他全程隻用了一個數學公式，但即便如此，聽眾裡也只有一個人完全聽懂了他在說什麽，這個人叫高斯，就是你可能聽過的那個小時候就能幾秒鐘之內從1加到100的高斯。

高斯 | 維基百科

黎曼是感染了肺結核死的，那個時候肺結核沒有好的治療方法，只能去溫暖的地方療養，效果非常有限。黎曼去了三次意大利，都沒有好轉，最終死在意大利，死前最後一天還在研究數學。他死後將近一百年，人類才終於找到戰勝肺結核的辦法。

黎曼猜想是什麽呢？用最最簡單的話說，根據一個重要的數學公式，能畫出很多很多個點，實際上有無窮多個這樣的點。黎曼猜測說，這些點有一部分排成一條橫線，另一部分排成一條豎線，所有這些點都在這兩條線上，沒有一個漏網的。

為什麽叫猜想呢？因為黎曼拿不出足夠強的證據來說服別人。在數學上，對證據的要求是很嚴格的，連一絲一毫的不確定性都不能有。所以在數學上要把一個猜想變成一個證明，是非常非常困難的事情。

因為這樣的點有無窮多個，所以你沒有辦法一一驗證是不是所有的點都在線上，永遠驗證不完。但是，只要你找到一個點不在線上，那就把黎曼猜想推翻了。到1936年為止，數學家手動驗證了1041個，全部符合。後來數學家開始使用電腦，如今已經驗證了10兆個，也全都符合。

黎曼猜想 | poissonnerie-lacoquille.com

有一個偉大的數學家叫希爾伯特，他在1900年曾經列出過一套數學未解之謎，一共23道題，認為它們是當時數學界最重要的問題。其中，黎曼猜想又是最重要的問題之一。如今，這些問題有9個已經完全解決，9個獲得了部分解決，2個問題提得過於寬泛而談不上是否解決，只剩下3個沒解決，黎曼猜想就是其中之一。

希爾伯特曾經說，如果我現在沉睡過去、1000年之後醒過來，我的第一個問題就是黎曼猜想有沒有解決。

希爾伯特曾經有一個學生試圖證明黎曼猜想，失敗了，但那篇論文的想法深深吸引了他。第二年這個學生不幸去世，希爾伯特要求在葬禮上做一個演說。那天風雨交加，希爾伯特致辭說這樣的天才這麽早離開我們真是太可惜了，台下親朋好友哭做一團，然後他繼續說，儘管他的證明有錯，但按照這條路線是有可能成功的，實際上，讓我們考慮一個單變量的複函數……（喂，不要在葬禮上做數學演講！）

大衛·希爾伯特

另一個大數學家哈代也很喜歡黎曼猜想。他曾經寫過自己的人生目標是：1、證明黎曼猜想；2、攀登珠穆朗瑪；3、刺殺墨索裡尼；4、證明上帝不存在。結果他一個都沒有完成。

有一次哈代坐船過英吉利海峽，那天暴風肆虐，他很擔心船沉了，於是臨出發前給朋友拍了一個電報，說我已經解決了黎曼猜想，等到了目的地給你寫結果。他的理由是，證明黎曼猜想太重要了，所以上帝是不會讓他半路就死的……

有一個數學研究所叫克雷研究所，2000年的時候他們給七道數學未解之謎分別給出了100萬美元的懸賞，其中一道題就是證明黎曼猜想。如今18年過去了，7道題只有1道解決，黎曼猜想還是沒能攻克。

克雷研究所官網上懸賞的未解之謎

黎曼猜想如果是真的話，那它將會是一個特別好用的數學結論。所以一百多年來，數學家已經假定它是真的，在此基礎上導出了成百上千的命題。

因此，如果黎曼猜想被證實，那麽大家都能松一口氣；但如果它被證偽，那麻煩可就大了。

不過，數學家已經努力了一百多年都沒能解決這個問題，所以一旦有人真正解決了它，不管是證實還是證偽，那他肯定是想到了什麽前所未有的辦法，很可能這個方法本身要比黎曼猜想更加重要，更能推動數學的進步。

24日將證明黎曼猜想的邁克爾·阿蒂亞本人 | 維基百科

下面是關於黎曼猜想的其他看法。

都在等待“黎曼猜想”證明

卻不知道它後面隱藏的危險

——節選自《人類最美的54個公式》

大神黎曼

過直線外一點，可作其幾條平行線？

歐氏幾何說，只能作一條；

羅氏幾何說，至少可以作兩條（包括一組和無數）。

黎曼慢悠悠地反問：誰知道平行線相交還是不相交呢？

“平行線公理”的世紀之爭，最終終結於黎曼。

黎曼提出：過直線外一點，一條平行線也作不出來。（這是人話嗎？）

可基於黎曼幾何得出的“無平行線”結論，最終成了廣義相對論的數學幫手。

廣義相對論最初源於愛因斯坦意識到引力並不是一種力，而是時空幾何彎曲的體現。

物理直覺超於常人的愛因斯坦一直找不到數學工具來表達他的想法，如果沒有數學支撐，直接說引力是時空彎曲效應，肯定會被吐槽成“物理是體育老師教的”。

所以，直到他從數學界朋友了解到黎曼的“非歐幾何”，才讓廣義相對論提早問世。當愛因斯坦得意地跟全世界說：如果沒有我，50年內也不會出現廣義相對論。

這時候，能和愛因斯坦站在一起吹牛的，也只有數學大神黎曼了。

黎曼猜想與裸奔的互聯網

“幾何”一直是黎曼的主業，這又是一座深不可測的數學殿堂。

但今天聊的不是他的主業，而是他在1859年“閑暇之餘”隨手丟下的一個猜想。

這個猜想說的是：存在一個對素數分布規律有著決定性影響的黎曼ζ函數①非平凡零點②。

講人話，我們來看黎曼猜想到底長什麽樣紙！

黎曼猜想指的是，黎曼函數所有非平凡零點的實部都是1/2。

更通俗的數學表達式如下：

ζ（s）= 1 + 1 / 2^s+ 1 / 3^s+ 1 / 4^s+……=0的所有非平凡解都在直線x=1/2上。

怎麽樣！看懂了吧，如果還有疑問……那我也沒輒了，我的智商有限。

黎曼自己肯定沒有想到，他所提出的這個猜想，足足折騰了數學家們159年。

如果黎曼知道直到2018年我們還在糾結，一定會花點時間把證明寫出來的。

這件事情還得怪他的老師高斯，高斯的座右銘是“寧肯少些，但要成熟”的低調作風，這一點影響到黎曼，讓他成為一個惜字如金的大神。

他一生僅發表過10篇論文，但每篇論文都橫跨各領域，是多領域的先鋒開拓者，雖然不到40歲就去世，但仍然顯示出不可一世的才華。

1859年黎曼拋出的這個不朽謎題，就是想解決素數之秘。

一旦素數之秘被解開，那麽現在幾乎所有互聯網的加密方式將不再安全，互聯網變成一個裸奔的世界，因為我們主要的非對稱加密包括RSA密鑰加密等等，都是基於大數的分解。

不僅僅是互聯網，只要證明方法被公布，無需量子電腦，根據其原理甚至能破解現代銀行的安全密碼體系，看你還開心不開心！

非對稱加密算法和素數的關係

那些擔心自己的錢包和黎曼猜想的朋友們，我們再複習一下小學數學：

小於20的素數有多少個？答案是有8個：2、3、5、7、11、13、17和19。小於1000的素數有多少個？小於100萬呢？小於10億的呢？

觀察素數表，你會發現素數數目是下降的，它們越來越稀疏。1和100之間有25個素數，401和500之間有17個，而901和1000之間只有14個。如果把素數列到100萬，最後一個百數段（就是從999901到1000000）中只有8個素數。如果列到10 000億，最後一個百數段中將只有4個素數。它們是，999 999 999 937，999 999 999 959 ，999 999 999 961，999 999 999 989。

越到後面，素數的尋找越發艱難。

因此，聰明的數學家們將素數應用在密碼學上，因為人類還沒有發現素數的規律，以它作密鑰進行加密的話，破解者必須要進行大量運算，即使用最快的電子電腦，也會因求素數的過程時間太長而失去了破解的意義。

現在普遍使用於各大銀行的是RSA公鑰加密算法，基於一個十分簡單的素數事實：將兩個大質數相乘十分容易，但是想要對其乘積進行因式分解卻極其困難，因此可以將乘積公開作為加密密鑰。

黎曼猜想得到完全證明，很有可能派生出攻擊RSA公鑰加密算法的規律。

一旦黎曼猜想得證，那麽基於大素數分解的非對稱加密算法可能就走到了盡頭，私鑰加密、簽名也就失去了意義。

當我們在為數學家開心的時候，也得小心那些尋找漏洞的黑客。

黎曼ζ函數證明和量子幽靈有關嗎？

黎曼猜想的證明有那麽難嗎？

在這裡我不列出這些證明細節，只看看一路坎坷的證明歷程：

?1896年，法國的哈達瑪抵達猜想的三八臨界線邊緣——證明了黎曼ζ函數的非平凡零點隻分布在帶狀區域的內部，並順手乾掉了刁難人類一百年的素數定理。

?1914年，丹麥的玻爾與德國的蘭道觸到了冰山一角，窺得了黎曼ζ函數的非平凡零點傾向於“緊密團結”在臨界線的周圍。

?英國的哈代副武裝模式開啟，直接將“紅旗”插上了臨界線——證明了黎曼ζ函數有無窮多個非平凡零點位於臨界線上。

?1989年美國的康瑞又推翻了列文森的推論，重新開啟了估算的新篇章，又證明了至少有40%的零點位於臨界線上。

……

然而誰也沒能真正搞定黎曼猜想，數學上“無窮大”這隻惡魔讓再多數值證據都微不足道。

沒想到，有幸之年，我竟能親身見證黎曼猜想被證明，若為真，實深感榮焉。

就在最近，2018年9月20日，菲爾茲和阿貝爾獎雙料得主邁克爾·阿蒂亞爵士宣稱自己證明了黎曼猜想，要在9月24日海德堡獲獎者論壇上向全世界公布證明。

一聽這消息，躲在深山老林的科學家們全炸了。

黎曼猜想這次真的會被解決嗎？作為數學獎最高得主，阿蒂亞爵士的確是這個時代頂尖數學家之一。但他都89歲了，會不會只是出來玩票……

此次阿蒂亞的證明恐與量子力學有著千絲萬縷的關係。

自20世紀以來，已有部分科學家注意到素數與量子物理之間存在聯繫。

黎曼猜想中的素數行為，酷似量子力學中的“測不準原理”，雖然你可能不知道單個分子確切位置，但是你可以確定這個房間大致的分子分布，素數這難以捉摸的行為特別像量子幽靈掌握的微觀世界。

阿蒂亞若是借助量子力學這一工具來證偽黎曼猜想也不是不可能。畢竟，數學中很多重大問題，都是建立在與其他數學分支跨界聯繫的基礎上才被解決，比如費馬大定理。

而由量子理論所衍生而出的量子電腦，也早已被數學家證明能快速對大數進行質因數分解，基於“平行世界”的運算可輕而易舉破解素數並顛覆密碼系統。

量子力學與素數的戀情，也許將在這一次揭開情人面紗。

猜想將動搖數學大廈嗎？

各大行長躲在銀行保險櫃前瑟瑟發抖，不少黑客則潛伏敲著鍵盤蓄勢待發。

一旦證明方法得證無誤，密碼夾持著的無盡秘密有多少會不複存在。

然而，黎曼猜想帶來的危險不僅僅影響銀行，更不僅僅影響互聯網，其可能動搖到一些數學根基。

數學文獻中已有超過一千條數學命題以黎曼猜想的成立為前提。如果黎曼猜想被證明，所有那些數學命題就全都可以榮升為定理；反之，如果黎曼猜想被否證，則那些數學命題中起碼有一部分將成為陪葬品。

那些建立在黎曼猜想上的推論，可謂是一座根基不穩、搖搖欲墜、令人惶恐不安的大廈。

一個數學猜想與為數如此眾多的數學命題有著密切關聯，這是世上極為罕有的，也許正是因為這樣的關係，黎曼猜想的名氣和光環變得更加顯著，也越發讓人著迷。

因而，此次黎曼猜想是否成功證明，將牽一發而動全身，直接影響以黎曼猜想作為前提的數學體系。

危險的數學和逝去的“愛神”

伯恩哈德·黎曼於1866年7月20日去世，離開這個世界時還不到40歲。

天妒英才，這位與歐拉、高斯、伽羅瓦一樣在數學上具有頂尖天賦的人物，可能因為其才華給神帶來巨大危險，很快就被上帝喚回去打麻將了。

他並沒有意識到自己對這個世界的影響會如此深遠，臨走之前非常安寧，沒有掙扎也沒有臨終痙攣，仿佛饒有興趣地觀看靈魂與肉體的分離。

《素數之戀》一書談到：他妻子給他拿來麵包和酒，他要她把他的問候帶給家裡人，並對她說：“親親我們的孩子”。她為他誦讀了主禱文，他的眼睛虔誠地向上仰望，幾次喘息以後，他純潔而高尚的心髒停止了跳動。

他長眠在塞拉斯加教區比甘佐羅教堂的院子裡，墓碑上的碑文是：

這裡安息著

格奧爾格·弗裡德裡克·伯恩哈德·黎曼

哥廷根大學教授

生於1826年9月17日，布雷斯倫茨

卒於1866年7月20日，塞拉斯加

萬事都互相效力

叫愛神的人得益處

注釋：

①ζ函數：（ζ-function）用來刻畫系統周期點性態的函數。

②零點：設是定義在數域k上的函數，我們把方程f=0在數域k中的解稱作f（在k中）的零點，所有零點構成的集合稱作零點集。