“獨孤信印”上了高考數學試卷

撰文 | 劉 鈍

今年全國高考理科數學II卷有一道填空題，涉及到一個叫做 “獨孤信印” 的多面體。筆者曾在《數學文化》2018年第1期發表一篇小文，詳細描繪了獨孤信印的由來、幾何構造及求棱長的算法。不知命題人是否看過那一期的《數學文化》或推送過該文的《科學春秋》微信公眾號（獨孤信印與秦漢酒骰的幾何學），但可以肯定的是，中學數學教科書不含半正多面體的內容，此前從數學結構的角度來討論這一出土文物的似乎也僅見筆者一家。難怪連日來網上關於這道題的討論熱鬧非凡，有人留言說 “果然是獨孤天下了”，大概是說題目出得有些偏。

以下為原題：

2019年普通高等學校招生全國統一考試理科數學II試卷第16題

依筆者看，這個題目還是蠻好的，除了前述拙文介紹的解析幾何解法外，還可以借助普通的平面幾何、立體幾何或三角知識來解，難度不算太大，分數比例也不高（兩小問共5分），但有利於拉開善於靈活解題考生與啃書族的差距，特別是有助於考察優秀學生的幾何直觀。

現在網上已經公布了所有解答題的標準解法，唯選擇與填空題隻給出正確答案而不及解法。這裡筆者再提供一個利用平面幾何求此半正多面體棱長的解法，關鍵是要根據提示的“所有頂點都在同一個正方體的表面上”畫出這個正方體來，如下圖：

48等邊半正多面體棱長與其外切正方體棱長的關係

根據形體對稱與頂點在正方體面上這兩個條件，可知上圖中三角形ABC是個等腰直角三角形，

至於這個半正多面體的面數，根據圖示並考慮形體的對稱性，不難看出共有26個面：其中18個為正方形，8個為正三角形。

媒體上有個留言頗合吾意，說 “終於有媒體在高考結束之後討論數學題了，算是全民數學啟蒙的開始吧，數十年來，每次高考結束，所有媒體都在討論語文試卷，討論語文作文，高考隻考語文嗎？不是的，因為媒體記者們只看得懂語文，數學物理化學生物，理科類的高考內容是在媒體人們的理解外的。全民科普，普及理科知識也是重中之重啊！” 至於 “沒事就應該多帶孩子逛逛博物館”，乃至這兩天陝西省博物館裡這個小物件前擠滿了學生和家長；還有對 “最牛老丈人” “最美大將軍” 的關注，那都超出筆者的預期了。

附.立體解析幾何求棱長法

將48等邊半正多面（獨孤信印的幾何體）及其外切立方體置於三維直角坐標系內，如上圖。設半正多面體棱長為a，已知立方體棱長為1，則有：

參考文獻：

劉鈍.2018.獨孤信印與秦漢酒骰的幾何學.數學文化.第9卷第1期.62-69.（互見《科學春秋》公眾號）

2019年普通高等學校招生全國統一考試理科數學II試卷.