奇特的卡拉比-丘流行，一個流形對應一個宇宙

地面上的螞蟻認為，它的世界是平的，而不是彎曲的球體表面。球面上的每個小區域看起來都是普通的歐幾裡德太空，處於不同經度的城市仿佛有著平行的時空。

流形就是這樣的幾何太空，其上的每個小區域看起來都像普通的歐幾裡德太空。例如，球面、圓環面在局部上與二維的歐幾裡得太空類似，地球儀的表面可以從南極和北極（或東半球和西半球）投影到兩張平面地圖上。然而，從總體來說，它們卻並不相同：麥哲倫繞著地球一直前行最終會回到起點，而不會走到無限遠處，在地球表面奔跑的誇父永遠不可能追逐到太陽。

○圓環面。| 圖片來源：Leonid_2

卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifold）是一種複流形，可以分解成一片一片，看起來就像是複太空的平面。卡拉比-丘流形之所以特別，是因為它分解的片狀結構只能通過旋轉在複太空的類似物連接起來。在複一維（實太空的二維，因為複數的實數部分和虛數部分佔據實數太空的兩個維度）太空，唯一特別好的（緊致的）解是是環面，但是在更高維度，事情會變得非常有趣。雖然很難用影像來描繪任何超過兩個實數維的流形，但用代數方程來構造流形的例子卻並不困難。

我們知道，處於二維平面的一維圓形可以用方程x^2+y^2=r^2的實數解來描繪，平面上與原點距離為r的所有點(x,y)構成整個圓。嵌入三維太空的二維球面可以用方程x^2+y^2+z^2=r^2的實數解來描繪，太空中與原點距離為r的所有點(x,y,z)構成整個球面。在更高維度上，我們則可以用方程

的（實數）解來描述n維球體。與此類似，複三維卡拉比-丘流形是通過方程

的複數解來描述的。這個著名的卡拉比-丘流形被稱為“5次多項式（quintic）”。

○卡拉比-丘流形。

卡拉比-丘流形最初是由意大利數學家卡拉比（Eugenio Calabi）提出的猜想，丘成桐證明了這個猜想，並表明卡拉比-丘流形具有物理學上非常有趣的性質。愛因斯坦的廣義相對論表明，時空按照能量與動量的分布彎曲，然而，如果太空是空的呢？根據丘定理，不僅平坦太空是廣義相對論方程的解，卡拉比-丘流形也是。

因為這個原因，卡拉比-丘太空是弦論中額外太空維度（6個實數維度）形狀的可能候選對象。在弦論中，人們尤其感興趣的是複三維卡拉比-丘流形，例如5次多項式流形。（進一步閱讀《十個問題，帶你認識弦理論》）

卡拉比-丘5次多項式流形的每一個例子都會給出一個不同的宇宙，每一個宇宙具有一套不同的基本粒子和相互作用。這就使得分類問題——卡拉比-丘5次多項式流形的哪一個例子對應哪一個宇宙，它們的性質是什麽——變得非常有趣。

然而，到目前為止，我們還不清楚這些例子的數量是否為有限。迄今為止，物理學家和數學家已經構建了大約5億個例子[2]。

○卡拉比-丘流形的一個模型。| 圖片來源：[1]

在構建卡拉比-丘流形的例子時，物理學家們做了一個奇怪的觀察：它們似乎自然地成對出現，每一個卡拉比-丘流形與一個不同的“鏡像”卡拉比-丘流形相關聯。

只要稍微調整一下弦理論，就可以將卡拉比-丘流形與它的鏡像交換，而不會讓物理學發生任何變化。這使得物理學家在卡拉比-丘流形的幾何結構與其鏡像之間提出許多對應關係。最著名的是由牛津大學的數學家推導出的公式，可以用來計算任何曲線嵌入到一個卡拉比-丘流形有多少種不同的方式。

這可是一個數學難題！令人驚訝的是，許多“弦”定理隨後被嚴格證明，並啟發了許多數學研究。

參考來源：

[1]https://www.maths.ox.ac.uk/about-us/life-oxford-mathematics/oxford-mathematics-alphabet/c-calabi-yau-manifolds

[2]http://hep.itp.tuwien.ac.at/~kreuzer/CY/