每日最新頭條.有趣資訊

混沌與分形二:分形的奇跡——分數維的曲線

文章來自“科學大院”公眾號

作者:黃逸文

混沌的秘密,不可思議地隱藏在分形的世界裡。

分形(fractal),該術語最早是由美國數學家曼德勃羅(Mandelbrot)於1973年提出。

曼德勃羅(1924-2010)(圖片來源網絡)

在其名著《大自然的分形幾何學》中,曼德勃羅開創了分形幾何學。分形幾何以及與其相關的非線性理論,很快就顯示出強大的生命力,其影響迅速遍及科學和社會的每個角落。許多學科中的難題,因為分形的介入而煥然一新。如夢初醒的科學家才發現,原來分形的身影已經在世界上默默存在了數億年,從地球誕生始就向大自然昭示其深邃的奧秘。

植物的分形(圖片來源:網絡)

生活中常見的白花椰菜、雷雨過後的閃電、凜冬漫天飛舞的雪花、貝殼身上的螺旋圖案,小至各種植物的結構及形態,遍布人體全身縱橫交錯的血管,大到天空中聚散不定的白雲、連綿起伏的群山,它們都或多或少表現出分形的特徵。乍看起來雜亂無章的分形,原來是大自然的基本存在形式,無處不在,隨處可見。

圖片來源:視覺中國

分形如此廣泛地分布在自然界中,卻又與千百年來的智者擦肩而過。它的發現,正式揭開了大自然最迷人和動人的奧義之一。

早在兩千多年前的古希臘時代,人們最傑出的成就來自數論與幾何,特別是歐幾裡得幾何的建立,更使得幾何學成為最嚴格和易於把握的公理化體系。

幾何研究的對象是圖形。為了研究不同的幾何對象,人們傾向於把它們進行歸類。從點、線、面到立體,人們的思維逐漸擴展開來。漸漸地,人們意識到區別幾何圖形的重要分水嶺:維度。直線和曲線是一維的圖形,平面則是二維的圖形,立體則屬於三維的空間。

圖片來源:視覺中國

一切都是那麽的直觀,歷史在平靜地流淌。直到有一天,一件匪夷所思的事打破了人們對維度的信念。

1890年,意大利數學家皮亞諾(Piano)構造了一種奇怪的曲線,該曲線自身並不相交,但是它卻能通過一個正方形內部所有的點。換句話說,這條曲線就是正方形本身,進而應該擁有和正方形一樣的面積!這個怪異的結論讓當時的數學家大吃一驚,更讓數學界感到深切的不安:如此一來,我們拿什麽來區分曲線和平面?這條曲線究竟是一維,還是二維?經典的幾何在它面前束手無策。這只被放逐出來的怪獸,正式奏響了分形幾何研究的序曲。

皮亞諾曲線(圖片來源:百度百科)

維度概念的擴展,則得益於德國數學家豪斯多夫(Hausdorff)。他在1919年提出了維度的新定義。該定義為人們成功驅散了籠罩在分形曲線身上的迷霧奠定了基礎。

在傳統的觀念下,一個空間的維數等於決定空間中任何一點位置所需要變量的數目。比如我們生活的空間之所以是三維空間,源自我們需要三個數值:經度、緯度和高度來確定物體在空間中的位置。這樣的定義無比符合人們的直觀,也因此在數千年間都被奉為圭臬。但是這種定義維度的方式,排除了分數維的可能。

圖片來源:視覺中國

豪斯多夫另辟蹊徑,從物體的自相似性來定義維度。自相似性,顧名思義,就是“一個圖形的自身可以看成是由許多與自己相似的、大小不一的部分組成的”。比如一條線段是由兩個與原線段相似、長度一半的線段接成。一個立方體,則可以看成是由8個大小為自身八分之一的小立方體組成。

簡而言之,如果一個圖形按照N∶1的比例縮小後。如果原來的圖形可以由M個縮小之後的圖形拚成的話,這個圖形的維數d,就是豪斯多夫維數,定義為 d = ln(M)/ln(N). 在豪斯多夫的定義下,皮亞諾的曲線恰好就是二維!因此它能填滿正方形並不奇怪。

皮亞諾曲線就是一條自相似的曲線。它身上揭示了分形的諸多特徵:具有自相似性、具有無窮多的層次和細節,可以被無限放大、永遠都有結構,最令人驚異的是,它還可以是分數維。比如著名的科赫雪花曲線就是1.26維,謝爾賓斯基三角形則是1.58維。

雪花的分形(圖片來源:網絡)

皮亞諾曲線發現後的83年,曼德勃羅首次提出了分形幾何的概念。他在一次公開演講中提出了一個看起來讓眾人乏味的問題:英國海岸線究竟有多長?

人們會輕描淡寫地回答:只要用儀器去測量就行啊,只要測量得足夠精確,總能得到想要的結果。然而,出乎所有人的意料,如果用不同大小的度量標準來測量海岸線的長度,每次竟然會得出完全不同的結果。當度量標準的尺度越小,測量出來的海岸線的長度會越來越長!隨著測量精確的提高,英國海岸線的長度也在迅速趨於無窮!多年以後,科學家們才發現,英國海岸線是一個複雜的分形曲線。根據多次測量所得的結果,英國海岸線的分形維數大約等於1.25

圖片來源:視覺中國

更令眾人吃驚的是,英國海岸線裡隱藏的秘密竟然也和人體的生命構造息息相關。分形的發現,則將人們引向越來越奇異的科學探索之旅。大自然,處處都彰顯出偉大的和諧與統一。

(未完待續)

下集預告:混沌與分形(三):人體竟是分形的傑作?!

往期傳送門:

混沌與分形(一): 命運無常,是天意還是混沌的力量?

參考文獻:

1. 《數學的故事》,伊恩.斯圖爾特著, 上海辭書出版社,2013。

2. 《從混沌到有序人與自然的新對話》,伊裡亞·普裡戈金、斯唐熱著,上海譯文出版社,1987。

3. 《複雜》,米歇爾.沃爾德羅普著,生活·讀書·新知三聯書店,1997。

4. 《蝴蝶效應之謎》,張天蓉著,清華大學出版社,2013。

作者部門:中國科學院數學與系統科學研究院

文章首發於科學大院,轉載請聯繫[email protected]

科學大院是中科院官方科普微平台,由中科院科學傳播局主辦、中國科普博覽團隊運營,致力於最新科研成果的深度解讀、社會熱點事件的科學發聲。

獲得更多的PTT最新消息
按讚加入粉絲團